Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Получающееся многообразие орбит и называется приведенным фазовым пространством системы с симметрией.
Мы будем обозначать приведенное фазовое пространство, соответствующее значению момента р, через Fp. Многообразие Fp является базой расслоения л: Мр -*- Fp со слоем, диффеоморфным группе Gp.
На приведенном фазовом пространстве Fv имеется естественная симплектическая структура. А именно, рассмотрим какие-либо два вектора |, tj, касательных к Fp в точке /. Точка / является одной из орбит группы Gp на многообразии Mр. Пусть х — одна из точек этой орбиты. Векторы 5 и tj, касательные к Fp, получаются из некоторых векторов I', tj', касательных к Мр в точке х, при проекции п: Мр —*- Fp.
Определение. Кососкалярным произведением векторов |, tj, касательных к приведенному фазовому пространству в одной точке, называется кососкалярное произведение соответствующих им векторов I', tj', касательных к исходному симплектическому многообразию М:
Теорема*). Кососкалярное произведение векторов |, Tj не зависит от выбора точки х и представителей |', tj' и задает на приведенном фазовом пространстве симплектическую структуру.
Следствие. Приведенное фазовое пространство четномерно.
Доказательство теоремы. Рассмотрим в касательном к M в X пространстве следующие два подпространства:
T (Mp) — касательное пространство к многообразию уровня момента Mv;
T (Gx) — касательное пространство к орбите группы G. Лемма. Эти два пространства являются косоортогоналъ-ными дополнениями друг друга в TM.
Доказательство.' Вектор E] лежит в косоортогональном дополнении к касательной плоскости орбиты группы G тогда и только тогда, когда кососкалярные произведения вектора ? с векторами скоростей гамильтоновых потоков группы G равны нулю (по определению). Но эти кососкалярные произведения равны производным соответствующих функций Гамильтона по направлению ?. Следовательно, вектор ? лежит в косоортогональном допол-
*) В таком виде! эта теорема впервые сформулирована Марсденом и Вейнстейном. Многочисленные частные случаи рассматривались со времен Якоби и использовались Пуанкаре и его последователями в механике, Кирилловым и Костантом в теории групп, а Фаддеевым — в общей теории относительности.
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СИММЕТРИЕЙ
343
нении к орбите группы G, если и только если производная момента по направлению ? равна нулю, т. е. если ? лежит в T (Мр). Первое утверждение леммы доказано; второе очевидно.
Представители §' и Tj' определены с точностью до прибавления вектора из касательной плоскости к орбите группы Gp. Но эта касательная плоскость есть пересечение касательных плоскостей к орбите Ga: и к многообразию Mр (по последней теореме пункта А). Следовательно добавление к §' вектора из T (Gpx) не меняет кососкалярных произведений со всеми векторами г)' из T (Mp) (так как по лемме T (Gpx) косоортогонально T (Мр)). Итак, независимость от выбора представителей tj' доказана.
Независимость величины 11, Tj |р от выбора точки х на орбите / вытекает из симплектичности действия группы G на M и инвариантности Мр. Итак, на Fp определена дифференциальная 2-форма:
(6. Ч) = [І, пір.
Она не,вырождена. Ибо, если [§, r\]p = 0 для всех tj, то соответствующий представитель §' косоортогонален всем векторам из T (Mр). Следовательно, 6' принадлежит косоортогональному дополнению к T (Мр) в TM. Тогда по лемме §' <= T (Gx), т.е. § = 0.
Форма Qp замкнута. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим какую-либо карту, т. е. площадку в Мр, трансверсально пересекающую орбиту группы Gp в одной точке.
Форма Qp изображается на этой карте 2-формой, индуцированной из 2-формы со, задающей симплектическую структуру во всем пространстве М, при вложении площадки. Поскольку форма со замкнута, индуцированная форма также замкнута. Теорема доказана.
Пример 1. Пусть M = R2™ — евклидово пространство размерности 2п с координатами рк, qk и 2-формой 5jdpfc Д dqh. Пусть G=S1 — окружность, а действие G на M задается гамильтонианом линейного осциллятора
*=4-Цо*+«ї).
Тогда отображение момента есть просто Н: R2n ->- R, многообразие нулевого уровня момента есть сфера S2"-1, а фактор-пространство — комплексное проективное пространство CP"-1.
Следовательно, предыдущая теорема определяет симплектическую структуру на комплексном проективном пространстве. Нетрудно проверить, что эта структура совпадает (с точностью до множителя) с той, которую мы построили в добавлении 3.
Пример 2. Пусть M — группа Ли, G — эта же группа, а действие определяется левыми сдвигами. Тогда Мр — это подмногообразие касательного расслоения группы, образованное теми векторами, которые при правом сдвиге в единицу группы дают один и тот же элемент в дуальном пространстве к алгебре Ли.
Следовательно, многообразие Мр диффеоморфно самой группе и является правоинвариантным сечением кокасательного расслоения. Все значения р регулярны.
Стационарная подгруппа Gn точки р состоит из тех элементов группы, для которых левый и правый сдвиги элемента р дают одинаковый результат. Действия отличных от единицы элементов
