Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
344
ДОБАВЛЕНИЕ 5
группы Gp на Mp не имеют неподвижных точек (так как их нет у правых сдвигов группы по себе).
Группа Gp действует собственно (см. замечание на стр. 341). Следовательно пространство орбит группы Gp на Мр является симплектическим многообразием.
Но это пространство орбит легко отождествляется с орбитой точки р в коприсоединенном представлении. Действительно, отобразим правоинвариантное сечение Мр кокасательного расслоения в кокасательное пространство к группе в единице левыми сдвигами. Получаем отображение
л: Mp з*.
Образ этого отображения есть орбита точки р в коприсоединенном представлении, а слои — орбиты действия группы Gp. Симплектическая структура приведенного фазового пространства определяет, таким образом, симплектическую структуру на орбитах коприсоединенного представления.
Нетрудно проверить непосредственным подсчетом, что это — та самая структура, которую мы обсуждали в добавлении 3.
Пример 3. Пусть группа G=S1 — окружность, и пусть она действует без неподвижных точек на многообразии V. Тогда возникает пуассоновское действие окружности на кокасательном расслоении M= T*V. Мы можем определить многообразия уровня момента Mp (коразмерности 1 в M) и фактор-многообразия Fp (размерность которых на 2 меньше размерности M).
Кроме того, мы можем построить фактор-многообразие конфигурационного пространства V, отождествив друг с другом все точки каждой орбиты группы на V. Обозначим это профакторизо-ванное пространство через W.
Теорема. Приведенное фазовое пространство F0 симплек-тически диффеоморфно кокасателъному расслоению профакторизо-ванного конфигурационного пространства W; Fp диффеоморфно F0.
Доказательство. Пусть л: V —» W — факторизация, со <= Т* W — 1-форма на W в точке w = nv. Форма л* со на V в точке v принадлежит Af0 и после факторизации задает точку в F0. Обратно, элементы F0— это инвариантные 1-формы на V, равные нулю на орбитах; они задают 1-формы на W. Итак, мы построили отображение Т* W —» F0; легко видеть, что это — симплектический диффеоморфизм.
Случай р ф 0 сводится к случаю р = 0 следующим приемом. Рассмотрим на V риманову метрику, инвариантную относительно G. Пересечение Мр с кокасательной плоскостью к V в точке v является гиперплоскостью. Квадратичная форма, задающая метрику, имеет в этой гиперплоскости единственную точку минимума s (v). Вычитание вектора s (v) переводит гиперплоскость Mp П Т* V1, в M0 Г) T*VV, и мы получаем диффеоморфизм Fp —» .F0. Теорема доказана.
В. Применения к исследованию стационарных вращений и бифуркаций инвариантных многообразий. Пусть дано пуассоновское действие группы G на симплектической многообразии Mx
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СИММЕТРИЕЙ
345
и пусть H — функция на М, инвариантная относительно G. Пусть Fp — приведенное фазовое пространство (мы предполагаем, что условия, при которых его можно определить, выполнены).
Гамильтоново поле с функцией Гамильтона H касается каждого многообразия уровня момента Мр (так как момент — первый интеграл). Возникающее полена Мр инвариантно относительно Gp. и задает поле на приведенном фазовом пространстве Fp. Это векторное поле на Fp мы будем называть приведенным полем.
Теорема. Приведенное поле на приведенном фазовом пространстве гамильтоново. Значение функции Гамильтона приведенного поля в какой-либо точке приведенного фазового пространства равно значению исходной функции Гамильтона в соответствующей точке исходного фазового пространства.
Доказательство. Соотношение, определяющее гамильтоново поле X11 с гамильтонианом H на многообразии M с формой со
dH (Q = а> (Xн, I) для всех I
влечет аналогичное соотношение для приведенного поля ввиду определения симплектической структуры на Рр, ч. т. д.
Пример. Рассмотрим асимметричное твердое тело, закрепленное в неподвижной точке и находящееся под действием силы веса (или иной потенциальной силы, симметричной относительно вертикальной оси).
На конфигурационном пространстве SO(3) действует группа S1 вращений относительно вертикали. Функция Гамильтона инвариантна относительно вращений, поэтому возникает приведенная система на приведенном фазовом пространстве.
Приведенное фазовое пространство является в данном случае кокасательным расслоением профакторизованного конфигурационного пространства (см. пример 3, стр. 344). Факторизация конфигурационного пространства по действию вращений вокруг вертикальной оси была проведена Пуассоном следующим образом.
Будем задавать положение тела ортонормированным репером (ех, е2, еа). Три вертикальные компоненты векторов репера задают вектор в трехмерном координатном евклидовом пространстве. Длина этого вектора 1 (почему?). Этот вектор Пуассона *) у определяет исходный репер с точностью до поворотов относительно вертикали (почему?).
Таким образом, профакторизованное конфигурационное пространство представляет собой двумерную сферу »S"2, а приведенное
*) Пуассон показал, что уравнения движения тяжелого твердого тела записываются через вектор у в замечательно простом виде «уравнений Эйлера — Пуассона»
