Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
313
Замечание. Как в комплексном проективном пространстве, так и на его комплексных подмногообразиях мы определили эрмитову структуру в касательных пространствах, мнимая часть которой является симплектической структурой.
Комплексное многообразие с эрмитовой метрикой, мнимая часть которой является замкнутой формой (т. е. симплектической структурой) называется келероеым многообразием, а его эрмитова метрика — келероеой метрикой. В геометрии келеровых многообразий получено много важных результатов, в частности они обладают замечательными топологическими свойствами (см., например: В е й л ь А. Введение в теорию келеровых многообразий.— M.: ИЛ, 1961).
Не все симплектические многообразия допускают келерову структуру. Однако неясно, какие из топологических свойств келеровых многообразий зависят лишь от симплектической структуры.
Задача 1. Вычислить симплектическую структуру Q в аффинной карте w = Zx: Z0 проективной прямой CP1.
Ответ. Q=—--гіж Л dV— t щЄ w = х + iy. Коэффициент в опре-
п (і + л«Ч-у2)2
делении формы Q выбран так, чтобы получить обычную ориентацию комплексной прямой (dx/\dy) и чтобы интеграл формы Q по всей проективной прямой ¦был равен 1.
Задача 2. Докажите, что симплектическая структура Q в аффинной карте Wk = 2??1 (k = 1, . . ., п) проективного пространства CPn = = {(z0 : z1 : . . . : z„)} задается формулой
2 (wkdwc ~~ wtdwh) Л (WKdWl ~ ™idwk> Q __ і os;fc<kti_
2л n
Jt=O
З амечание. Дифференциальные формы на комплексном пространстве с комплексными значениями (например, dw^ и dw^) определяются как комплексные линейные функции от касательных векторов: если w% = = Xy1 + іуК, то
dwK = dx^ -}- і dyk, dw^ = dx^ — і dyK.
Пространство таких форм в Сп имеет комплексную размерность 2п\ C-базис образуют, например, 2п форм dwk, du;k (к = 1, . . ., п), либо 2п форм dxk, dyk.
Внешнее умножение определяется обычным образом и подчиняется обычным правилам. Например,
dw /\ dw = (dx + і dy) Д (dx — і dy) = —2і dx Д dy.
Пусть f — вещественно-гладкая функция на С" (с комплексными, вообще говоря, значениями). Пример такой функции: | w |2 = 21/??. Дифференциал функции / является комплексной 1- формой. Следовательно, его можно разложить по базису du%, dwjc. Коэффициенты этого разложения называются частными производными «по 1/?» и «по и%»:
df = HL dw + HL dw.
dw dw
314
ДОБАВЛЕНИЕ 4
При вычислении внешних производных также удобно разделить дифференцирования а" по переменным w и <Г — по переменным w, так что d = = d' + d".
Например, для функции /
d'f = IL dw, d"f = ?L d.w. dw dw
Для дифференциальной 1-формы
операторы d' и d" определяются аналогійно:
d'a = ? d'a^ д dwk + д^ь
d"co = 2 Л <Ч + d"bK A di5k.
Задача 3. Докажите, что симплектическая структура Q в аффинной карте (i% = %-z"1) проективного пространства СР™ задается формулой
п
Q = JLd'd''ln^| wk p.
Добавление 4 КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
На нечетномерном многообразии не может быть симплектической структуры. Аналогом симплектической структуры для нечетномерных многообразий является несколько менее симметричная, но тоже весьма замечательная структура — контактная.
Источником симплектических структур в механике являются фазовые пространства (т. е. кокасательные расслоения к конфигурационным многообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфшуранионных пространств.
Контактным элементом к тг-мерному гладкому многообразию в некоторой точке называется п — 1-мерная плоскость, касающаяся многообразия в зтой точке (т. е. п — 1-мерное линейное подпространство n-мерного касательного пространства в этой точке).
Множество всех контактных элементов n-мерного многообразия имеет естественную структуру гладкого многообразия размерности 2п — 1. Оказывается, на этом нечетномерном многообразии имеется замечательная дополнительная «контактная структура» (мы опишем, что это такое, ниже).
Многообразие контактных элементов риманова n-мерного многообразия тесно связано с 2п — 1-мерным многообразием единичных касательных векторов этого риманова n-мерного многообра-
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
315
.-зия, или с 2п — 1-мерным многообразием уровня энергии материальной точки, движущейся по риманову многообразию по инерции. Контактные структуры в этих 2п — 1-мерных многообразиях тесно связаны с симплектической структурой в 2тг-мерном •фазовом пространстве точки (т. е. в кокасательном расслоении исходного риманова тг-мерного многообразия). А. Определение контактной структуры.
Определение. Контактная структура на многообразии — это гладкое поле касательных гиперплоскостей *), удовлетворяющее некоторому условию невырожденности, которое •будет сформулировано позже. Чтобы сформулировать это условие, посмотрим, как вообще может быть устроено поле гиперплоскостей в окрестности точки Л^-мерного многообразия.
Пример. Пусть N = 2. Тогда многообразие — это поверхность, а поле гиперплоскостей — поле прямых. Такое поле в •окрестности точки устроено всегда одинаково и весьма просто, а именно так, как поле касательных к семейству параллельных прямых на плоскости. Точнее, одним из основных результатов локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является возможность превратить любое гладкое поле касательных прямых на многообразии в поле касательных к семейству параллельных прямых евклидова пространства при помощи диффеоморфизма в достаточно малой окрестности любой точки многообразия.
