Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь алгебру Ли, образованную векторными полями дивергенции нуль на торе с однозначной функцией тока. Соответствующая группа S0DUiT72 состоит из оставляющих на месте центр тяжести тора и сохраняющих элемент площади диффеоморфизмов. Она вложена в группу SDiff T2 всех сохраняющих элемент площади диффеоморфизмов как вполне геодезическое подмногообразие (т. е. такое подмногообразие, что каждая его геодезическая является геодезической в объемлющем многообразии).
Доказательство заключается в том, что если в начальный момент поле скоростей идеальной жидкости имеет однозначную функцию тока, то и во все моменты времени функция тока однозначна; последнее вытекает из закона сохранения импульса.
Мы исследуем теперь кривизны группы S0Diffr2 по всевозможным двумерным направлениям, проходящим через единицу группы (кривизна группы SDiffT72 по каждому такому направлению та же самая, так как подмногообразие S0DiIfT12 вполне геодезическое).
Выберем на плоскости R2 ориентацию. Тогда элементы алгебры Ли группы SoDiffJ2 можно считать вещественными функциями на торе, имеющими среднее значение нуль (поле дивергенции нуль получается из такой функции, если считать ее функцией тока). Следовательно, двумерное направление в касательной плоскости к группе SoDiffT72 определяется парой функций на торе со средним значением нуль.
Такую функцию мы будем задавать набором ее коэффициентов Фурье. Все вычисления с рядами Фурье удобно проводить в комплексной области. Обозначим через (где к — точка нашей евклидовой плоскости, называемая волновым вектором) функцию, значение которой в точке х нашей плоскости равно e*(fc> х). Такая функция определяет функцию на торе, если она Г-периодич-на, т. е. если прибавление вектора из решетки Г к аргументу х не меняет значения функции.
Иными словами, скалярное-произведение (к, х) должно быть кратно 2л для всех х ЄЕ Г. Все такие векторы к принадлежат не-
*) Случаи тора Тп и сферы S2 рассмотрены А. М. Лукацким (Функц. анализ.—1979.—Т. 13, № 3; УМН.—1981.—Т. 36, № 2).
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
305
которой решетке Г* на плоскости R2. Функции ей, где образуют полную систему в пространстве комплексных функций на торе.
Теперь мы комплексифицируем нашу алгебру Ли, скалярное произведение <,>, коммутатор Г,1 и операцию В в алгебре, а также риманову связность и тензор кривизны Q, так что все эти функции станут (поли) линейными в комплексном линейном пространстве комплексифицированной алгебры Ли. Функции ей (где к ее Г*, к Ф 0) образуют в этом линейном пространстве базис.
Те о р е м а 14. Явные формулы для скалярного произведения^ коммутатора, операции В, связности и кривизны правоинвариант-ной метрики на группе S0Diffr2 имеют следующий вид:
<Cfc. еіУ = 0 при k + ІфО, <efc, e_fc> = k2S;
[eft, et\ = (k ek+l;
fc2
B (ek, et) = fcfc, tefc+i, где fcfc, і = (к Д I) (|c + t)a ; Vefeej = di, fc+iefc4i, где du, v = -і—J—^-;
-?, і, m, m = 0, если fc-f-J-f-m + ras^O; если же Л -f-1 + m -f--\- п = 0, то
Rk, l,m,n = (ainaicm — ?lm?fcn) S
где а - ("А")3
В этих формулах 5 — площадь тора, а и Д у — площадь параллелограмма, натянутого на ад и г? (при выбранной ориентации плоскости R2). Круглые скобки означают евклидово скалярное произведение на плоскости, а угловые — в алгебре Ли.
Доказательство этой теоремы имеется в цитированной на стр. 284 статье в Анналах института Фурье.
Приведенные формулы позволяют вычислить кривизну по любому двумерному направлению. Вычисления показывают, что по большинству направлений кривизна отрицательна, но по некоторым — положительна. Рассмотрим, в частности, какое-либо течение жидкости, т. е. геодезическую нашей группы. Согласно уравнению Якоби, устойчивость этой геодезической определяется кривизнами по направлениям всевозможных двумерных плоскостей, проходящих через вектор скорости геодезической во всех ее точках.
Предположим теперь, что рассматриваемое течение стационарное. Тогда геодезическая является однопараметрической подгруппой нашей группы. Отсюда следует, что кривизны во всех плоскостях, проходящих через вектор скорости геодезической во всех ее точках равны кривизнам в соответствующих плоскостях» проведенных через вектор скорости указанной геодезической в
306
ДОБАВЛЕНИЕ 2
начальный момент времени. (Доказательство — правый сдвиг ш единицу группы.) Таким образом, на устойчивость стационарного течения влияют лишь кривизны в направлении тех двумерных плоскостей в алгебре Ли, которые содержат вектор алгебры Ли, являющийся полем скоростей стационарного течения.
Рассмотрим, например, простейшее параллельное синусоидальное стационарное течение. Такое течение задается функцией тока
е_ Єк + Є-к
S- 2 •
Рассмотрим любой другой вещественный вектор из алгебры, tj = =Лхіеі (так что X-I = хі). Из теоремы 14 легко выводится
Теорема 15. Кривизна группы S0DiIiT72 во всех двумерных плоскостях, содержащих направление \, неположительна. А именно,
Ф (Б. Ч) Е. Ч> = — т~ в*.»І «і + х1+2и I2.
