Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Симплектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокаса-тельных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасатель-ном расслоении, которую мы назвали «р dq» и которая лежит в основе гамильтоновой механики (см. § 37). Ее производная da есть, следовательно, форма adp /\ dq», задающая обычную сим-плектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма da не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано.
Е. Контактные диффеоморфизмы н векторные поля.
Определение. Диффеоморфизм контактного многообразия на себя называется контактным, если он сохраняет контактную структуру, т. е. переводит каждую плоскость задающего структуру поля гиперплоскостей в плоскость того же поля.
Пример. Рассмотрим 2п — 1-мерное многообразие контактных элементов и-мерного гладкого многообразия с его обычной контактной структурой. Каждому контактному элементу можно приписать «положительную сторону», выбрав одну из половин, на которые этот элемент делит касательное пространство к «-мерному многообразию.
Контактный элемент с выбранной стороной мы будем называть (трансверсалъно) ориентированным контактным элементом.
Все ориентированные контактные элементы на нашем «-мерном многообразии образуют 2п — 1-мерное гладкое многообразие с естественной контактной структурой (оно двулистно накрывает многообразие обычных неориентированных Контактных элементов).
Предположим теперь, что на исходном n-мерном многообразии дана риманова метрика. Тогда на многообразии ориентирован-
326
ДОБАВЛЕНИЕ 4
ных контактных элементов возникает «геодезический поток» *). Преобразование за время t в этом потоке определяется так. Выпустим из точки контакта контактного элемента геодезическую, ортогональную ему и направленную в сторону, ориентирующую элемент. В течение времени t будем двигать точку контакта вдоль геодезической, оставляя элемент ортогональным геодезической. Через время t получим новый ориентированный элемент. Мы определили геодезический поток ориентированных контактных эл -ментов.
Теорема. Геодезический поток ориентированных контактных элементов состоит из контактных диффеоморфизмов.
Доказательство этой теоремы не приводится, так как она есть не что иное, как сформулированный в новых терминах принцип Гюйгенса (см. § 46).
Определение. Векторное поле на контактном многообразии называется контактным, если оно является полем скоростей однопараметрической (локальной) группы контактных диффеоморфизмов.
T е о р е м а. Скобка Пуассона контактных векторных полей является контактным векторным полем. Контактные векторные поля образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких векторных полей на контактном многообразии.
Доказательства непосредственно вытекают из определений.
Ж. Симплектизация контактных диффеоморфизмов и полей. По каждому контактному диффеоморфизму контактного многообразия каноническим образом строится симплектический диффеоморфизм его симплектизации.
Этот симплектический диффеоморфизм коммутирует с действием мультипликативной группы вещественных чисел на симплек-тизованном многообразии и определяется следующей конструкцией.
Напомним, что точкой симплектизованного многообразия является контактная форма на исходном контактном многообразии.
Определение. Образом контактной формы р с точкой контакта х под действием контактного диффеоморфизма / контактного многообразия на себя называется форма
f\P = (Ux)Y1P-
Попросту говоря, мы переносим форму р из касательного пространства в точке х в касательное пространство в точке / (х) при помощи диффеоморфизма / (производная которого в точке х устанавливает изоморфизм между этими двумя касательными пространствами).
Форма ftp контактная, ибо диффеоморфизм / контактный.
*) Строго говоря, здесь нужно потребовать, чтобы риманово многообразие было полным, т. е. геодезические продолжались неограниченно.
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
327
Теорема. Определенное выше отображение f\ симплектиза-ции контактного многообразия в себя является симплектическим диффеоморфизмом, коммутирующим с действием мультипликативной группы вещественных чисел и сохраняющим каноническую !-форму на симплектизации.
Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из того, что каноническая 1-форма, симплектическая 2-форма и действие группы вещественных чисел определены самой контактной структурой (при их построении не использовались координаты или иные неинвариантные средства), а диффеоморфизм / сохраняет контактную структуру. Из этого следует, что / переводит в себя все то, что инвариантно построено по контактной структуре, в частности 1-форму а, ее производную da и действие группы, ч. т. д.
Теорема. Всякий симплектический диффеоморфизм симплектизации контактного многообразия, коммутирующий с действием мультипликативной группы: 1) проектируется на исходное контактное многообразие в виде контактного диффеоморфизма; 2) сохраняет каноническую 1-форму а.
