Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
где л — проекция пространства-симп-лектизации на контактное многообразие.
Теорема. Внешняя производная канонической i-формы на пространст-
ве-симплектизации контактного многообразия является невырожденной 2-формой.
Следствие. Лространство-симплектизация контактного многообразия имеет симплектическую структуру, которая канонически (т. е. однозначно, без всякого произвола) определена контактной структурой исходного нечетномерного многообразия.
Доказательство. Ввиду локальности утверждения теоремы его достаточно доказать в малой окрестности точки многообразия. В малой окрестности точки на контактном многообразии поле контактных плоскостей можно задать дифференциальной формой to на контактном многообразии. Зафиксируем такую 1-форму to.
Тем самым мы представили часть пространства-симплектизации над рассматриваемой окрестностью точки контактного многообразия в виде прямого произведения этой окрестности и прямой без точки.
А именно, паре (х, V), где х — точка контактного многообразия, ал — отличное от нуля число, мы сопоставляем контактную форму, которую задает дифференциальная 1-форма Xto в касательном пространстве в точке х.
Таким образом, в рассматриваемой части симплектизации определена функция К, значения которой — отличные от нуля числа. Следует подчерк-
324
ДОБАВЛЕНИЕ 4
нуть, что к является лишь локальной координатой на симплектизованном многообразии и что эта координата определена не канонически; она вависит от выбора дифференциальной 1-формы со.
Каноническая 1-форма а в наших обозначениях записывается в виде
а = кл*а
и не зависит от выбора со.
Внешняя производная 1-формы а имеет, следовательно, вид
da = dk д it* (о + kit* da.
Докажем, что 2-форма da невырождена, т. е. что для любого вектора |, касательного к симплектизации, найдется такой вектор tj, что da (?, tj) ф 0.
Выделим среди векторов, касательных к симплектизации, векторы следующих типов. Мы назовем вектор § вертикальным, если он касается слоя, т. е. если я,? = 0. Мы назовем вектор ? горизонтальным, если он касается поверхности уровня функции к, т. е. если dk (i) = 0. Мы назовем вектор | контактным, если его проекция на контактное многообразие лежит в контактной плоскости, т. е. если to (я,!) = 0 (иными словами, если а (|) = 0).
Вычислим значение формы da на паре векторов |, tj:
da (i, Tj) = (dk д л*со) (1, tj) + (kn*da) (I, rj).
Предположим, что вектор i не контактный. Возьмем в качестве ц ненулевой вертикальный вектор, так что n,tj = 0. Тогда второе слагаемое равно нулю, а первое равно
—dk (tj) со (я,1)
и отлично от нуля, так как Tj — ненулевой вертикальный вектор, а ? не контактный. Итак, если | не контактный вектор^ то мы нашли tj, для которого da (t, tj) ф 0.
Предположим, что вектор i контактный, невертикальный. Тогда возьмем в качестве tj любой контактный вектор. Теперь первое слагаемое целиком обращается в 0, а второе' (и значит, вся сумма) сводится к kda (л*§, я»ч )• Поскольку вектор i не вертикальный, то вектор я„|, лежащий в контактной плоскости, отличен от нуля. Но 2-форма da в контактной плоскости невырождева (по определению контактной структуры). Значит, существует такой контактный вектор tj, что da (я,!, ф 0. Поскольку К ф 0, мы нашли вектор tj, для которого da (?, tj) ф 0.
Наконец, если вектор | — вертикальный ненулевой, то в качестве ц можно взять любой неконтактный вектор. Теорема доказана.
Замечание. Конструкции 1-формы а и 2-формы da проходят для произвольного многообразия с полем гиперплоскостей и не зависят от условий невырожденности. Однако 2-форма da будет определять симплектическую структуру лишь в случае, когда поле плоскостей было невырожденным.
Доказательство. Предположим, что поле вырождено, т. е. что существует такой ненулевой вектор i' в плоскости поля, что da (1,Tj') = 0 для всех векторов Tj' этой плоскости. При таком %' величина da (§',tj') как функция от Tj' является линейной формой, тождественно равной нулю на плоскости поля. Следовательно, существует такое не зависящее от Tj' число р., что
da (Г, TJ') = р.со (T1')
J же для всех векторов Tj' касательного пространства.
Возьмем теперь в качестве 1 такой касательный вектор к симплектизо-ванному многообразию, для которого я»§ = 1'. Такой вектор 1 определен с точностью до прибавления вертикального слагаемого, и мы покажем, что
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
325
при надлежащем выборе этого слагаемого будет
da (I, Tj) = 0 для всех ц.
Действительно, первое слагаемое формулы для da равно dk (|) со (ji»tj) (поскольку со (я,|) = 0). Второе слагаемое равно Ысо (ла§, л,т]) = кцы (я*т]). Вертикальную составляющую вектора | выберем так, чтобы dk (|) = —кц. Тогда вектор | будет косоортогонален всем векторам tj.
Итак, если da — симплектическая структура, то исходное поле г ипер-плоскостен — контактная структура, и выделенное выше утверждение доказано.
Следствие. Лоле контактных гиперплоскостей задает на многообразии всех контактных элементов любого гладкого многообразия контактную структуру.
