Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что на четномерном многообразии не может быть невырожденного поля гиперплоскостей. Действительно, на таком многообразии гиперплоскость нечетномерна, а ранг всякой косо-симметричной билинейной формы в нечетномерном пространстве меньше размерности пространства (см. § 44).
На нечетномерных многообразиях невырожденные поля плоскостей бывают.
Пример. Рассмотрим евклидово пространство размерности 2т + Ic координатами х, у, z (где х и у — векторы т-мерных пространств, а 2 — число). 1-форма
(о = х dy + dz
задает поле гиперплоскостей. Плоскость поля, проходящая через начало координат, имеет уравнение dz = 0. Координатами в этой гиперплоскости можно считать х и у. Следовательно, наша 2-форма в плоскости поля записывается в виде
^ю|и=0 = dx f\dy = dxx Д ауг + ... + dxm Д dym.
Ранг этой формы равен 2т, поэтому наше поле невырождена в начале координат, а значит, и в его окрестности (в действительности это поле плоскостей невырождено во всех точках пространства).
Теперь мы, наконец, можем дать определение контактной структуры на многообразии: контактной структурой на многообразии называется невырожденное поле касательных гиперплоскостей.
320
ДОБАВЛЕНИЕ 4
Г. Многообразие контактных элементов. Термин «контактная структура» объясняется тем, что такая структура всегда есть на многообразии контактных элементов гладкого многообразия.
Рассмотрим и-мерное гладкое многообразие.
Определение. Гиперплоскость (размерности п — 1), касающаяся многообразия в какой-либо точке, называется контактным элементом, а эта точка — точкой контакта.
Множество всех контактных элементов и-мерного многообразия само имеет структуру гладкого многообразия размерности 2п — 1.
В самом деле, множество всех контактных элементов с фиксированной точкой контакта — это множество всех п — 1-мерных подпространств п-мер-ного линейного пространства, т. е. проективное пространство размерности п — 1. Чтобы задать контактный элемент, нужно, следовательно, задать п координат точки контакта и еще п — 1 координату, определяющую точку п — 1-мерного проективного пространства, итого 2n — 1 координату.
Многообразие всех контактных элементов и-мерного многообразия является пространством расслоения, база которого — наше л-мерное многообразие, а слой — проективное пространство размерности п — 1.
Теорема. Расслоение контактных элементов является проективизацией кокасателъного расслоения: его можно получить из кокасателъного расслоения, заменив каждое кокасательное линейное n-мерное пространство п — 1-мерным проективным пространством (точка которого — прямая, проходящая через начало координат в кокасателъном пространстве).
В самом деле, контактный элемент задается 1-формой на кокасательном пространстве, для которой этот элемент является нулевым множеством уровня. Эта форма не нулевая, и она определена с точностью до умножения на отличное от нуля число.
Но форма на касательном пространстве есть вектор кокасателъного пространства. Поэтому ненулевая форма на касательном пространстве, определенная с точностью до умножения на не равное нулю число, есть ненулевой вектор кокасательного пространства, определенный с точностью до умножения на не равное нулю число, т. е. точка проективизации кокасательного пространства.
Контактная структура на многообразии контактных элементов.
В касательном пространстве к многообразию контактных элементов имеется замечательная гиперплоскость. Она называется контактной гиперплоскостью и определяется следующим образом.
Зафиксируем точку 2п — 1-мерного многообразия контактных элементов -на n-мерном многообразии. Эту точку мы можем рассматривать как п — 1-мерную плоскость, касательную к исходному и-мерному многообразию.
Определение. Касательный вектор к многообразию контактных элементов в фиксированной точке принадлежит контактной гиперплоскости, если его проекция на n-мерное много-
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
321
образне лежит в той п — 1-мерной плоскости, которая и является фиксированной выше точкой многообразия контактных элементов.
Иными словами, перемещение контактного элемента касается контактной гиперплоскости, если скорость точки касания принадлежит этому контактному элементу, поворачиваться же элемент может как угодно.
П р и м е р. Возьмем какое-либо подмногообразие в нашем и-мерном многообразии и рассмотрим все касательные к нему п — 1-мерные плоскости (т. е. контактные элементы). Все такие контактные элементы образуют в 2п — 1-мерном многообразии всех вообще контактных элементов гладкое подмногообразие. Размерность этого подмногообразия равна п — 1, какова бы ни была размерность исходного подмногообразия (которое может быть п — 1-мерным, а может иметь и меньшую размерность вплоть до случая кривой и даже до точки).
Полученное п — 1-мерное подмногообразие 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов в каждой своей точке касается поля контактных гиперплоскостей (по определению контактной гиперплоскости). Таким образом, поле контактных 2п — 2-мерных гиперплоскостей имеет п — 1-мерные интегральные многообразия.
