Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
^<4L<C- где 0<с<С<оо.
302
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Пусть яр + ф (х, у, t) — функция тока другого течения, уже не обязательно стационарного. Предположим, что в начальный момент циркуляция поля скоростей возмущенного течения (с функцией тока тр -+- ф) по каждой компоненте границы области D равна циркуляции исходного течения (с функцией тока гр). Тогда возмущение ф = ф (х, у, t) в любой момент оценивается через начальное возмущение Фо = ф (х, У, 0) по формуле
\ \ (V9)2 -f. с (Д«р)* dx dy < \ \ (Тер,,)* + С (Дфо)2 dx dy.
*Ь D
Если же стационарное течение удовлетворяет неравенству
с<-41?<с' °<с<с<°°' то возмущение ф оценивается через ф0 по формуле
\ \ с (Д9)2- (V9)2 dx dy < \ IС (Дфо)2 - (V90)2 dx dy.
D D
Из этой теоремы вытекает устойчивость стационарного течения в случае положительной определенности квадратичной формы
D
относительно V9 (где ф — постоянная на каждой компоненте границы области D функция, у которой равен нулю поток градиента через каждую компоненту границы), а также в случае отрицательной определенности формы
jj jj (V9)2 + (max -ц^Дф)» Ar dy.
D
Пример 1. Рассмотрим плоское параллельное течение в полосе Y1 <^ у <^ Y2 на плоскости (х, у) с профилем скоростей V (у) (т. е. с полем скоростей (и (у), 0)). Такое течение стационарно при любом профиле скоростей. Чтобы сделать область течения компактной, наложим на поля скоростей всех рассматриваемых течений условие периодичности с периодом X по координате х.
Условие теоремы 13 выполняется, если профиль скоростей не имеет точек перегиба (т. е. если d?vldy2 Ф 0). Мы приходим к выводу, что плоские параллельные течения идеальной жидкости без точек перегиба профиля скоростей устойчивы.
Аналогичное предложение в линеаризованной задаче называется теоремой Рэлея.
Подчеркнем, что в теореме 13 речь идет не об устойчивости «в линейном приближении», а о настоящей строгой устойчивости по Ляпунову (т. е. относительно конечных возмущений в нелинейной задаче). Различие между «тими двумя видами устойчивости в рассматриваемом случае существенно,
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
303
потому что наша задача имеет гамильтонов характер (см. теорему 4). А для гамильтоновых систем асимптотическая устойчивость невозможна, поэтому устойчивость в линейном приближении всегда нейтральная, недостаточная для заключения об устойчивости положения равновесия нелинейной задачи.
П р и м е р 2. Рассмотрим плоскопараллельное течение на торе
{(х, у), X mod X, у mod 2л}
с полем скоростей V = (sin у, 0), параллельным оси х. Это поле определяется функцией тока t]j = —cos у и имеет ротор г = = — cos у. Профиль скоростей имеет две точки перегиба, однако функция тока выражается через функцию ротора. Отношение VtJj/VAtJj равно минус единице. Применяя теорему 13, убеждаемся в устойчивости нашего стационарного течения в случае, когда
2я X 2П X
I § (bqfdxdy^ I \ (Vyfdxdy
0 0 Ь о
для всех функций ф периода X по х и 2л по у. Легко сосчитать, что последнее неравенство выполнено при X ^ 2л и нарушается при X > 2л.
Таким образом, из теоремы 13 вытекает устойчивость синусоидального стационарного течения в случае короткого тора, когда период в направлении основного течения (X) меньше ширины потока (2л). С другой стороны, можно непосредственно проверить, что на длинном торе (при X ^> 2л) наше синусоидальное течение неустойчиво *).
Итак, в рассматриваемом примере достаточное условие устойчивости из теоремы 13 оказалось и необходимым.
Следует заметить, что вообще из незнакоопределенности квадратичной формы агН не вытекает еще неустойчивость соответствующего течения. Вообще, положение равновесия гамильтоновой системы может быть устойчивым, несмотря на то, что функция Гамильтона в этом положении равновесия не является ни максимумом, ни минимумом. Квадратичный гамильтониан И = P1 + ?j — р\ — q\ — простейший пример такого рода.
Л. Риманова кривизна группы диффеоморфизмов. Выражение для кривизны группы Ли, снабженной односторонне инвариантной метрикой, приведенное в пункте Е, имеет смысл и для группы SDiff Z) диффеоморфизмов римановой области D. Эта группа является конфигурационным пространством для идеальной жидкости, заполняющей область Z). Кинетическая энергия жидкости определяет на группе SDiff Z) правоинвариантную метрику. Число, которое получается при формальном применении к этой бесконеч-
*) См., например, статью: МешалкинЛ. Д., С и н а й Я. Г. Исследование устойчивости стационарного течения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости // ПММ.— 1961.— № 6.— С. 1140—1142.
304
ДОБАВЛЕНИЕ 2
номерной группе формулы для кривизны групп Ли, естественно назвать кривизной группы SDiff D.
До конца вычисление кривизны группы диффеоморфизмов проведено лишь в случае течений на двумерном торе с евклидовой метрикой*). Такой тор получается из евклидовой плоскости R2 отождествлением точек, разность которых принадлежит некоторой решетке Г (дискретной подгруппе плоскости). Примером такой решетки является множество точек с целыми координатами.
