Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Ме = L*M Є в*,
Ме = RgM ЄЕ в*-
Эти векторы из дуального к алгебре пространства — не что иное, как кинетический момент относительного тела (M0) и кинетический момент относительно пространства (Ms). Последнее
290
ДОБАВЛЕНИЕ 2
легко вытекает из выражения кинетической энергии через момент и угловую скорость:
Согласно принципу наименьшего действия, движение твердого тела по инерции (в отсутствие внешних сил) есть геодезическая на группе вращений с указанной выше левоинвариантной метрикой.
Мы будем теперь рассматривать геодезические произвольной левоинвариантной римановой метрики на произвольной группе Ли как движения «обобщенного твердого тела» с конфигурационным пространством G. Такое «твердое тело с группой G» определяется своей кинетической энергией, т. е. положительно определенной квадратичной формой на алгебре Ли. Точнее, мы будем представлять себе геодезические левоинвариантной метрики на группе G, заданной квадратичной формой <со, со> на алгебре, как движения твердого тела с группой G и кинетической энергией <со, со>/2.
Каждому движению t и- g (t) нашего обобщенного твердого тела мы можем сопоставить следующие четыре кривые:
называемые движениями векторов угловой скорости и момента в теле и в пространстве.
Дифференциальные уравнения, которым подчиняются эти кривые, найдены Эйлером для обычного твердого тела. Однако они справедливы в самом общем случае произвольной группы G, и мы будем их называть уравнениями Эйлера для обобщенного твердого тела.
Замечание. В обычной теории твердого тела отождествлены шесть различных пространств размерности 3: R3, R3*, д, о*, TG8, T*Ge. Совпадение размерностей пространства R3, в котором движется тело, и алгебры Ли g его группы движений — случайное обстоятельство, связанное с трехмерностью пространства: в /г-мерном случае g имеет размерность п (п — 1)/2.
Отождествление алгебры Ли g с дуальным к ней пространством 9* имеет более глубокое основание. Дело в том, что на группе вращений существует (и единственна с точностью до множителя) двусторонне инвариантная риманова метрика. Эта метрика задает раз и навсегда выделенный изоморфизм линейных пространств 9 и 9* (а также TGg и T*Gg). Она позволяет, следовательно, считать векторы угловой скорости и момента лежащими в одном евклидовом пространстве. В результате отождествления операция {,} превращается в коммутатор алгебры, взятый со знаком минус.
Двусторонне инвариантная метрика существует на любой компактной группе Ли, поэтому при изучении движений твердых
t ьч- сос (t) Є 9, t cos (t) Є 9, t ~ M0 (t) є 9*, t Mt (t) <= 9*.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 291
тел с компактными группами можно отождествить пространства угловых скоростей и моментов. Однако мы не будем делать этого отождествления, имея в виду главным образом приложения к некомпактному (и даже бесконечномерному) случаю групп диффеоморфизмов .
Г. Уравнения Эйлера. Результаты Эйлера (полученные им в частном случае G = SO(3)) можно сформулировать в виде следующих теорем о движении векторов угловой скорости и момента обобщенных твердых тел с группой G-
Теорема 1. Вектор момента относительно пространства сохраняется при движении:
Теорема 2. Вектор момента относительно тела удовлетворяет уравнению Эйлера
dM
Доказываются эти теоремы для обобщенного твердого тела так же, как для обычного.
Замечаниеі. Вектор угловой скорости в теле сос линейно выражается через вектор момента в теле M0 с помощью оператора, обратного оператору инерции: сос = А~гМс. Следовательно, уравнение Эйлера можно считать уравнением для одного лишь вектора момента в теле; его правая часть квадратична относительно M0.
Мы можем выразить этот результат еще следующим образом. Рассмотрим фазовый поток нашего твердого тела. (Его фазовое пространство T*G имеет размерность вдвое большую, чем размерность п группы G или пространства моментов Q*.) Тогда этот фазовый поток в 2/г-мерном многообразии факторизуется над потоком, заданным уравнением Эйлера в n-мерном линейном пространстве 9*»
Факторизацией фазового потока g' на многообразии X над фазовым потоком р на многообразии Y называется такое гладкое отображение я многообразия X на У, при котором движения g' переходят в движения f, так что коммутативна диаграмма
xi+x
Пі я| • т- е- я#' = ft
В нашем случае X = T*G— фазовое пространство тела, У = д* — про-с транство кинетических] моментов. Проекция эт: T*G —» g* определяется левыми сдвигами (пМ = LgM для M є T*Gg). Далее, g* есть фазовый поток рассматриваемого тела в 2п-мерном пространстве T*G, а /* — фазовый поток уравнения Эйлера в n-мерном пространстве моментов д*.
292
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Иными словами, движение вектора момента относительно тела зависит лишь от начального положения вектора момента относительно тела и не зависит от расположения тела в пространстве.
Замечание 2. Закон сохранения вектора момента относительно пространства можно выразить, сказав, что каждая компонента этого вектора в какой-либо системе координат на пространстве д* сохраняется. Мы получаем, таким образом, множество первых интегралов уравнений движения твердого тела. В частности, каждому элементу алгебры Ли 9 соответствует линейная функция на пространстве 9* и, следовательно, первый интеграл. Скобки Пуассона первых интегралов, заданных функциями на 9*, как легко сосчитать, сами будут функциями на 9*. Мы получаем, таким образом, (бесконечномерное) расширение алгебры Ли д, состоящее из всевозможных функций на д*. Сама алгебра Ли д вложена в это расширение как алгебра Ли линейных функций на 0*. Конечно, функционально независимы из всех этих первых интегралов фазового потока в 2п-мерном пространстве только п штук. В качестве п независимых интегралов можно взять, например, п линейных функций на д*, образующих базис в д.
