Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь двумерный случай. Вначале перепишем основные формулы в удобных для J! рассмотрения двумерного случая обозначениях.
Предположим, что область течения D двумерна и ориентирована. Метрика и ориентация задают на D симплектическую структуру; векторное поле скоростей имеет дивергенцию нуль и потому гамильтоново. Следовательно, это поле задается функцией Гамильтона (вообще говоря, многозначной, если область D неодносвязна). Функция Гамильтона поля скоростей называется в гидродинамике функцией тока и обозначается через т]5. Таким образом,
где / есть оператор поворота на 90° «вправо».
Функция тока коммутатора двух полей оказывается якобианом (или, если угодно, скобкой Пуассона гамильтонова формализма) функций тока исходных полей
Векторное поле jB (с, а) дается в двумерном случае формулой
где т]5а и т]5в — функции тока полей а и с, А = div grad — лапласиан.
В частном случае евклидовой плоскости с декартовыми координатами х, у формулы для функции тока, коммутатора и лапласиана принимают особенно простой вид
g^xot V1 = rot v.
v = I grad т]5,
jB = — (Дч>с) grad т]5а + grad a,
ду
et
дх
ду
дх
A =
дх*
+ ду* *
300
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Вихрем (или ротором) двумерного поля скоростей называется скалярная функция, интеграл произведения которой на ориентированный элемент площади по любой ориентированной области а в D равен циркуляции поля скоростей по краю области а:
а да
Легко сосчитать выражение ротора через функцию тока:
г = — Дгр.
В двумерном односвязном случае изозавихренность полей ь\ и v2 означает просто, что функции г, и т2 (роторы этих полей) переходят друг в друга при подходящем сохраняющем площади диффеоморфизме.
Две функции T1 и T2 с таким свойством во всяком случае рав-ноизмеримы, т. е. для них
mes {х с= D : г, (х) ^c} = mes {х E= D : r2 (х) ^ c}t
каково бы ни было число с. Следовательно, принадлежность двух полей образу одной орбиты коприсоединенного представления влечет равенство целой серии функционалов, например, интегралов от всех степеней ротора
D D
В частности, уравнения Эйлера движения двумерной идеальной жидкости
+ vVv = - grad р, div v = 0,
имеют бесконечный набор первых интегралов. Например, интеграл от любой степени ротора поля скоростей
D
является таким первым интегралом.
Именно существование этих первых интегралов (т. е. относительно простая структура орбит коприсоединенного представления) позволило доказать теоремы существования, единственности и т. д. в двумерной гидродинамике идеальной (а также и вязкой) жидкости; и именно сложная геометрия, орбит коприсоединенного представления в трехмерном случае (или, может быть, недостаток информации об этих орбитах) делает столь трудной задачу обоснования трехмерной гидродинамики.
К. Устойчивость плоских стационарных течений. Сформулируем теперь общие теоремы о стационарных вращениях (теоремы
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
301
7, 8 її 1j выше) для случая группы диффеоморфизмов. Мы получим тогда следующие утверждения:
1. Стационарное течение идеальной жидкости выделяется из есех изэзавихренных с ним течений тем, что оно является точкой условного экстремума (или критической точкой) кинетической энергии.
2. Если 1) указанная критическая точка — действительно экстремум, т. е. локальный условный максимум или минимум, 2) выполняется некоторое (вообще говоря, выполненное) условие регулярности и 3) экстремум невырожден (второй дифференциал знакоопределен), то стационарное течение устойчиво (т. е. является устойчивым по Ляпунову положением равновесия уравнения Эйлера).
3. Формула для второго дифференциала кинетической энергии на касательном пространстве к многообразию полей, изозаеихрен-ных с данным, имеет в двумерном случае следующий вид. Пусть D — область на евклидовой плоскости с декартовыми координатами х, у. Рассмотрим стационарное течение с функцией тока гр = = яр (х, у). Тогда
IVH = J J {bvf + -^jL (б/.)2 dx dy,
D
где б у — вариация поля скоростей (т. е. вектор указанного выше касательного пространства), a Or = rot ov.
Заметим, что для стационарного течения векторы градиента функции тока и ее лапласиана коллинеарны. Поэтому отношение Vip/VAij; имеет смысл. Далее, в окрестности каждой точки, где градиент ротора не равен нулю, функция тока является функцией от функции ротора.
Приведенные выше утверждения приводят к заключению, что знакоопределенность квадратичной формы (PH должна быть достаточным условием устойчивости рассматриваемого стационарного течения. Это заключение не вытекает формально из теорем 7, 8, 9, так как применение всех наших формул в бесконечномерном случае требует обоснования.
К счастью, можно обосновать окончательный вывод об устойчивости, не обосновывая промежуточных построений. Таким образом, удается строго доказать следующие априорные оценки (выражающие устойчивость стационарного течения относительно малых возмущений начального поля скоростей).
Теорема 13. Предположим, что функция тока стационарного течения гр = гр (х, у) в области D является функцией от функции ротора (т. е. от функции — Агр) не только локально, но и в целом. Предположим, что производная функции тока по функции ротора удовлетворяет неравенству
