Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Имея в виду бесконечномерные приложения, мы хотели бы избавиться от координат и сформулировать утверждение о первых интегралах инварпантно. Это можно сделать, переформулировав теорему 1 следующим образом.
Теорема 3. Орбиты коприсоединенного представления группыв дуальномк алгебре пространстве являются инвариантными многообразиями для потока в этом пространстве, заданного уравнением Эйлера.
Доказательство. M0 (t) получается из Ме (г) действием коприсоединенного представления, a Ms (і) стоит на месте, ч.т.д.
Пример. В случае обычного твердого тела орбиты коприсоединенного представления группы в пространстве моментов — это сферы М\ + Ml + М\ = const. В этом случае теорема 3 превращается в закон сохранения квадрата момента. Она состоит в том, что если начальная точка Мс лежит на какой-либо орбите (т. е. в данном случае на сфере M2 = const), то и все точки ее траектории под действием уравнения Эйлера лежат на той же орбите.
Вернемся теперь к общему случаю произвольной группы G и вспомним, что орбиты коприсоединенного представления имеют симплектическую структуру (см. пункт А). Далее, кинетическую энергию тела можно выразить через момент относительно тела. В результате мы получаем квадратичную форму на пространстве моментов
T = ± (Ме, А-*Ме). Зафиксируем какую-нибудь одну^орбиту V коприсоединенного пред-
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
293
ставлення. Рассмотрим кинетическую энергию как функцию на этой орбите:
H: V -> R, H (M е) = \ (Ме, А-Шс).
Теорема 4. Уравнение Эйлера на каждой орбите V копри-соединенного представления является гамильтоновым, с функцией Гамильтона Н.
Доказательство. Всякий вектор \, касательный к У в точке М, имеет вид I = {/, М), где / є д. В частности, векторное поле в правой части уравнения Эйлера можно записать в виде X = {dT, M) (здесь дифференциал функпии T в точке M линейного пространства g* рассматривается как вектор пространства, дуального к 8*, т. е. как элемент алгебры Ли в)-Из определений симплектической структуры Q и операции { , } (см. пункт А) вытекает, что для всякого вектора |, касательного к V в точке М,
Q (I, X) = (M, I/, dT]) = (dT, {f, M)) = (dB, I), что и требовалось доказать.
Уравнение Эйлера можно перенести из дуального к алгебре пространства в саму алгебру с помощью обращения оператора инерции. В результате получается следующая формулировка уравнения Эйлера в терминах операции В (стр. 288).
Теорема 5. Движение вектора угловой скорости в теле определяется начальным положением этого вектора и не зависит от начального положения тела. Вектор угловой скорости в теле удовлетворяет уравнению с квадратичной правой частью
юе = В К, cuc).
Это уравнение мы будем называть уравнением Эйлера для угловой скорости. Заметим, что орбиты коприсоединенного представления под действием оператора А-1: 9* —* 9 переходят в инвариантные многообразия уравнения Эйлера для угловой скорости: эти многообразия имеют симплектическую структуру и т. д. Однако, в отличие от орбит в 9*, зти инвариантные многообразия не определяются самой группой Ли G, но зависят также и от выбора твердого тела (т. е. оператора инерции).
Из закона сохранения энергии вытекает
Теорема 6. Уравнения Эйлера (для моментов и угловых скоростей) имеют квадратичный первый интеграл, значение которого равно кинетической энергии
T - 4- (Ме, А~Ч1е) = -|- (Ac^ (ос).
Д. Стационарные вращения и их устойчивость. Стационарным вращением твердого тела называется такое вращение, при котором угловая скорость тела постоянна (как в теле, так и в пространстве: легко видеть, что одно влечет другое). Из теории обычного твердого тела в R3 мы знаем, что стационарными вращениями являют-
294
ДОБАВЛЕНИЕ 2
ся вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции. Ниже формулируется обобщение этой теоремы на случай твердого тела с любой группой Ли. Заметим, что стационарные вращения — это геодезические левоинвариантной метрики, являющиеся од-нопараметрическими подгруппами.
Заметим также, что направления главных осей эллипсоида инерции можно определять, рассматривая стационарные точки кинетической энергии на сфере векторов момента фиксированной длины.
Теорема 7. Кинетический момент (соответственно угловая скорость) стационарного вращения относительно тела является критической точкой энергии на орбите коприсоединенного представления (соответственно на образе орбиты под действием оператора А'1). Обратно, всякая критическая точка энергии на орбите определяет стационарное вращение.
Доказательство — непосредственная выкладка пли ссылка на теорему 4.
Заметим, что разбиение пространства моментов на орбиты коприсоединенного представления может в случае произвольной группы быть устроено не так просто, как в простейшем случае обычного твердого тела, когда это — разбиение трехмерного пространства на сферы с центром О и саму точку О. В частности, орбиты могут иметь разные размерности, и разбиение на орбиты может не быть в окрестности данной точки расслоением: такая особенность есть уже в трехмерном случае в точке О.
