Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы укажем, в каком виде записываются приведенные выше общие формулы в случае G = SDiff Z), где D — связная об-
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
297
ласть конечного объема в трехмерном римановом^многообразии. Для этого прежде всего нужно записать явно билинейную операцию В: g X 8 —»• 8, определенную в пункте Б тождеством
<\а, Ь], с> є <В (с, а), о>.
Легко проверить, что в трехмерном случае векторное поле JB (с, а) выражается через векторные поля а и с из нашей алгебры Ли по формуле
-В (с, a) = (rot с) Д a + grad а,
где Д означает векторное произведение, а а — однозначную в D функцию, которая однозначно (с точностью до слагаемого) определяется условием В ЕЕ 9 (т. е. условиями div jB = 0 и jB касательно к краю D).
Заметим, что операция В не зависит от выбора ориентации, так как векторное произведение и ротор оба меняют знак при изменении ориентации.
3. Стационарные течения. Уравнение Эйлера для «угловой скорости» в случае G = SD iff D имеет вид v = —jB (v, v), так как метрика правоинвариантна. Оно принимает поэтому в случае группы диффеоморфизмов трехмерного пространства вид «уравнения движения в форме Бернулли»
-^- mm V Д rot V -f- grad a, div v = 0.
Уравнение Эйлера для момента записывается в виде «уравнения вихря»
Orot V г . ¦,
—-— = [i',iot»].
В частности, вихрь стационарного течения коммутирует с полем скоростей.
Это замечание позволяет немедленно топологически классифицировать стационарные течения идеальной жидкости в трехмерном пространстве.
Теорема 11. Предположим, что область D компактна и ограничена аналитической поверхностью, а поле скоростей аполитично и не везде коллинеарно со своим ротором. Тогда область течения разбивается аналитическим подмножеством на конечное число ячеек, в каждой из которых течение устроено стандартным образом. А именно, ячейки бывают двух типов: расслоенные на инвариантные относительно течения торы и расслоенные на инвариантные относительно течения поверхности, диффеоморфные кольцу R X S1. При этом на каждом из торов все линии тока замкнуты, либо все всюду плотны, а на каждом кольце все линии тока замкнуты.
298
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении «поверхностей Бернулли», т. е. поверхностей уровня функции а. Из условия стационарности (v Д rot v = —grad а) следует, что как линии тока, так и линии ротора лежат на поверхностях Бернулли. Поскольку поля скорости и ротора коммутируют, на замкнутой поверхности Бернулли действует группа R2, и она обязана быть тором (ср. с доказательством теоремы Лиувилля в § 49). Аналогичные соображения, с учетом граничного условия на краю D, показывают, что незамкнутые поверхности Бернулли состоят из колец с замкнутыми линиями тока.
Замечание. Аналитичность поля скоростей не очень существенна, но важно, чтобы поля скорости и ротора не были кол-линеарны ни в какой области. Машинные эксперименты, проведенные М. Эно, показывают более сложное, чем описано в теореме, поведение линий тока для стационарного течения на трехмерном торе, заданного формулами
Vx = A sin z + С cos у, Vy = В sin х + A cos z, V1 = C sin yt+B cos x.
Формулы подобраны так, что векторы v и rot і;коллинеарньі. Судя по результатам счета, некоторые линии тока плотно заполняют трехмерные области.
И. Изозавихренные поля. Двумерная гидродинамика резко отличается от трехмерной. Сущность этого различия заключается в различии геометрии орбит коприсоединенного представления в двумерном и трехмерном случае. Именно, в двумерном случае орбиты в некотором смысле замкнуты и ведут себя, примерно, как семейство множеств уровня функции (точнее, нескольких функций: в действительности даже бесконечного числа функций). В трехмерном же случае орбиты устроены сложнее, в частности, неограничены (а быть может и плотны). Орбиты коприсоединенного представления группы диффеоморфизмов трехмерного риманова многообразия можно описать следующим образом. Пусть V1 и V2 — два векторных поля скоростей несжимаемой жидкости в области D. Мы скажем, что поля V1 и V2 изозавихрены, если существует такой сохраняющий элемент объема диффеоморфизм g: D-^-D, который переводит каждый замкнутый контур у в D в такой новый контур, что циркуляция первого поля по исходному контуру равна циркуляции второго по сдвинутому контуру:
Легко проверить, что образ орбиты коприсоединенного представ" ления в алгебре (под действием обратного к оператору инерции оператора А"1) не что иное, как множество полей, изозавихренных данному.
В частности, теорема 3 принимает теперь вид следующего закона сохранения циркуляции.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
299
Теорема 12. Циркуляция поля скоростей идеальной жидкости по замкнутому жидкому контуру не меняется, когда контур переносится жидкостью на новое место.
Заметим, что если два поля скоростей трехмерной идеальной жидкости в D изозавихрены, то соответствующий диффеоморфизм переводит ротор первого поля в ротор второго:
Более того, изозавихренность двух полей можно определить как эквивалентность полей роторов, если область течения одно-связна. Следовательно, задача об орбитах коприсоединенного представления в трехмерном случае содержит в себе задачу о классификации векторных полей дивергенции нуль с точностью до сохраняющих элемент объема диффеоморфизмов. Эта последняя задача в трехмерном случае безнадежно трудна.
