Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 119

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 195 >> Следующая


Совсем другую серию примеров симплектических многообразий доставляет алгебраическая геометрия.

Например, любое гладкое комплексное алгебраическое многообразие (заданное системой полиномиальных уравнений в комплексном проективном пространстве) имеет естественную симплек-тическую структуру.

Построение симплектической структуры на алгебраическом многообразии основано на том, что само комплексное проективное пространство имеет замечательную симплектическую структуру, а именно мнимую часть его эрмитовой структуры.

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

309

А. Эрмитова структура комплексного проективного пространства. Напомню, что n-мерное комплексное проективное пространство СРП — это многообразие всех проходящих через точку О комплексных прямых br-j- 1-мерном комплексном линейном пространстве C+1. Чтобы построить на комплексном проективном пространстве CP'1 симплектическую структуру, мы используем эрмитову структуру в соответствующем линейном пространстве

Напомню, что эрмитовым скалярным произведением (или эрмитовой структурой) в комплексном линейном пространстве называется комплексная •функция от пары векторов, которая: 1) линейна по первому и антилинейна по второму аргументу, 2) меняет значение на комплексно-сопряженное при перестановке аргументов и 3) превращается в положительно определенную вещественную квадратичную форму, если взять аргументы равными:

Og, п> = А-<1. Ч>. <Ч. ё> = <5, Ч>. <!,!>> О

при 1 =*= 0.

Примером эрмитова скалярного произведения является

где Ij1- и г)/- — координаты векторов I и і] в некотором базисе.

Базис, в котором эрмитово скалярное произведение имеет вид (1), всегда ¦существует и называется эрмитово-ортонормированным базисом.

Вещественная и мнимая части эрмитова скалярного произведения являются вещественными билинейными формами. Первая из них симметрична, а вторая кососимметрична, и обе невырождены:

<1, ч> = (і.ч) + і II, ц], (|.ч) = (ч,1). ES.nl =»-[ч» Sl-

Квадратичная форма (§, 1) положительно определена.

Таким образом, эрмитова структура <,> в комплексном линейном пространстве задает в нем евклидову структуру (,) и симплектическую структуру (,]. Эти две структуры связаны с комплексной структурой соотношением

[I. Ч] = (І. *Ч).

Определим теперь на комплексном проективном пространстве ряманову метрику. С этой целью рассмотрим в соответствующем линейном пространстве Cn+1 единичную сферу

S2n+1 = {SECn+1:<S, *> = 1>.

Эта сфера наследует из Сп+1 риманову метрику. Каждая комплексная прямая пересекает нашу сферу по окружности большого круга.

Определение. Расстоянием между двумя точками комплексного проективного пространства называется расстояние между соответствующими двумя окружностями на единичной сфере.

Заметим, что эти две окружности параллельны в том смысле, что расстояние от любой точки одной из окружностей до другой окружности одинаково (доказательство: умножение z на ei<p сохраняет метрику на сфере). Это обстоятельство позволяет сразу написать явную формулу (2) для римановой метрики на комплексном

310

ДОБАВЛЕНИЕ З

проективном пространстве, задающей определенное выше расстояние.

Действительно, обозначим через р отображение р: C+I \ 0 -> СР",

сопоставляющее точке a 0 линейного пространства Сі1+1 комплексную прямую, проходящую через О и *.

Каждый вектор ?, касательный к СР" в точке ps, можно представить (многими способами) в виде образа вектора, приложенного в точке »; при этом отображении

E = P.S.

Теорема. Квадрат длины вектора ? в определенной выше римановой метрике дается формулой

ds* (о = <м><*>*>-<і**><*'Ь . (2>

Доказательство. Предположим сначала, что точка z лежит на единичной сфере 5а"-1.

Разложим вектор | на две составляюпщх: одна в комплексной прямой, определенной вектором z, а вторая — в эрмитово-ортогональном направлении. Заметим, что эрмитова ортогональность вектору z означает евклидову ортогональность векторам z и iz. Вектор z — это вектор евклидовой нормали к сфере 52rt_1 в точке z . Вектор is — это вектор касательной к окружности, по которой сфера пересекается с комплексной прямой, проходящей через точку s. Значит, эрмитово-ортогональная к вектору z компонента т| вектора §. касается сферы S2"'1 и евклидово-ортогональна окружности, по которой сферу пересекает прямая pz. ¦*»

Согласно определению метрики на СР™, риманов квадрат длины вектора ? равен евклидову квадрату длины эрмитово-ортогональной к z компоненты ч вектора |.

Вычислим компоненту т| вектора эрмитово-ортогональную к z. Запишем наше разложение в bhflej

I = cz +1], где <1), г> = 0.

Умножая эрмитово на *, находим

<ё, a> =c<a, a>,

следовательно,

^^ <s,z>l—<l,z>z <a,a>

Вычисляя эрмитов квадрат вектора ц, находим <т|, rj> = <г), §>,

<«,«><?, §> —г><г, ?>

Тем самым формула (2) доказана для точек s единичной сферы. Общий случай сводится к рассмотренному гомотетией z (—>¦ zl I z |. Теорема доказана.

Заметим, что наша конструкция позволяет определить в касательном пространстве к СР" не только евклидову структуру (2), но и эрмитову структуру.
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed