Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
і
Из этой формулы, в частности, вытекает, что:
1) кривизна равна нулю лишь для тех двумерных плоскостей, которые состоят из параллельных течений того же направления, что и I, так что [g, TjI = 0;
2) кривизна в сечении, определенном функциями тока | = = cos kx, tj = cos Ix, есть
К =--fc .~t? sin2 a sin2 ?,
46
яде S — площадь тора, a — угол между Je и I, ? — угол между k + I и k — I;
3) в частности, кривизна группы диффеоморфизмов тора \(х, у) modd 2л} в направлении, определенном полями скоростей {sin у, 0) и (0, sin х), равна
М. Обсуждение. Естественно ожидать, что кривизна группы диффеоморфизмов связана с устойчивостью геодезических линий на этой группе (т. е. с устойчивостью течений идеальной жидкости) таким же образом, как кривизна конечномерной группы Ли — с устойчивостью геодезических на ней. А именно, отрицательность кривизны вызывает экспоненциальную неустойчивость геодезических. При этом характерный путь (средний путь, на котором в е раз нарастают ошибки в начальных условиях) имеет порядок величины —К. Таким образом, значение кривизны группы диффеоморфизмов позволяет оценить время, на которое можно предсказывать развитие течения идеальной жидкости по
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ Л EBOXIHB АРИАНТНЫХ МЕТРИК
307
приближенному начальному полю скоростей без того, чтобы ошибка возрастала на много порядков.
Следует подчеркнуть, что неустойчивость течений идеальной жидкости понимается эдесь иначе, чем в пункте К: речь идет об экспоненциальной неустойчивости движения жидкости, а не его поля скоростей. Возможны случаи, когда стационарное течение является устойчивым по Ляпунову решением уравнения Эйлера, и тем не менее соответствующее движение жидкости экспоненциально неустойчиво. Дело в том, что малое изменение поля скоростей жидкости может вызывать экспоненциально растущее изменение движения жидкости. В таком случае (устойчивости решения уравнения Эйлера и отрицательности кривизны группы) можно прогнозировать поле скоростей, но невозможно прогнозировать без очень большой потери точности движение масс жидкости.
Приведенные выше формулы для кривизны можно даже использовать для грубой оценки времени, на которое невозможен долгосрочный динамический прогноз погоды, если согласиться на некоторые упрощающие предположения. Эти упрощающие предположения состоят в следующем.
1. Земля имеет форму тора, получающегося факторизацией плоскости по квадратной решетке.
2. Атмосфера — это двумерная однородная несжимаемая невязкая жидкость.
3. Движение атмосферы близко к «пассатному потоку», параллельному экватору тора и имеющему синусоидальный профиль скоростей.
Для вычисления характерного пути мы должны тогда оценить кривизны группы S0Diffr2 в направлениях, содержащих «пассатный поток» І из теоремы 15. При этом мы будем считать T2 = = {(х, у) modd 2я}, k = (0, 1). Иными словами, мы рассматриваем 2я-периодические течения на плоскости (х, у), близкие к стационарному течению, параллельному оси х, с синусоидальным профилем скоростей
V = (sin у, 0).
Из формул теоремы 15 легко усмотреть, что кривизна группы S0DWf Г2 в плоскостях, содержащих наш пассатный поток у, меняется в пределах
2
--¦g- < К < 0, где S = 4я2 — площадь тора.
Здесь нижний предел получен довольно грубой оценкой. Однако направление с кривизной К = —1/(25) заведомо существует, и есть много других направлений с кривизнами примерно такой же величины. Чтобы ориентировочно оценить характерный путь, мы примем в качестве ориентировочного значения «усредненной кривизны» K0 =-1/(2.5).
308
ДОБАВЛЕНИЕ З
Если согласиться исходить из такого значения кривизны Kn то получается характерный путь
s = (1A^T0")-1 = Y2S.
Скорость движения по группе, которое соответствует нашему пассатному течению, равна "|/ S12 (так как среднее квадратичное значение синуса равно 1/2). Следовательно, время, за которое наше течение проходит характерный путь, равно 2. Самые быстрые частицы жидкости успеют за это время пройти расстояние 2, т. е, 1/л от полного оборота вокруг тора.
Таким образом, если принять наше ориентировочное значение усредненной кривизны, то ошибки увеличиваются в ~ 20 раз за время одного оборота самой быстрой частицы. Принимая для максимальной скорости пассатного потока значение 100 км/ч, получаем для времени оборота 400 ч, т. е. меньше трех недель.
Итак, если в начальный момент времени состояние погоды было нам известно с малой ошибкой є, то порядок величины ошибки прогноза через п месяцев будет
10к"е, где к a л Igio е~ 2,5.
Например, для вычисления погоды на два месяца вперед нужно иметь в запасе пять знаков точности. Практически это означает, что вычислять погоду на такой срок невозможно.
Разумеется, приведенная здесь оценка является весьма нестрогой, и принятая нами модель весьма упрощена. Выбор значения «усредненной кривизны» также нуждается в обосновании.
Добавление 3
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
Симплектические многообразия классической механики — это чаще всего фазовые пространства лагранжевых механических систем, т. е. кокасательные расслоения конфигурационных пространств.
