Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
m „ г „ , ' ґ Рис. 236. Интеїраль-
Іеилора ЭТОЙ функции пары векторов B Нуле ные кривые, постро-
равна нулю, а квадратичная часть ее ряда РуешыГполюКТплтс-
ТеЙЛОра ЯВЛЯетСЯ биЛИНеЙНОЙ КОСОСИМметрИ- костей
чной формой на горизонтальной плоскости.
Если поле интегрируемо, то получившаяся 2-форма равна нулю. Поэтому эту 2-форму можно рассматривать как меру неинтегрируемости поля.
Пользуясь нашей системой координат, мы можем отождествить горизонтальную координатную плоскость с плоскостью ноля, проходящей через начало координат. Таким образом, в результате нашего построения возникает 2-форма в самой плоскости поля.
Корректность определения 2-формы. Выше 2-форма построена при помощи координат. Однако значение нашей 2-формы на паре касательных векторов не зависит от системы координат, но лишь от той 1-формы, с помощью которой задано поле.
Чтобы в этом убедиться, достаточно доказать следующее.
Теорема. Определенная выше 2-форма на нулевом пространстве 1-формы со совпадает с внешней производной последней, day L=O-
318
ДОБАВЛЕНИЕ 4
Доказательство. Покажем, что разность высот двух точек, получающихся в результате наших двух движений по сторонам параллелограмма, совпадает с интегралом 1-формы to по четырем сторонам параллелограмма с точностью до величин третьего порядка малости относительно сторон параллелограмма.
С этой целью заметим, что высота подъема интегральной кривой на любом пути длины є, выходящем из начала координат, имеет порядок є2, поскольку в начале координат плоскость поля горизонтальна. Следовательно, интегралы 2-формы da по всем четырем вертикальным площадкам над сторонами параллелограмма, ограниченным интегральными кривыми и горизонтальной плоскостью, имеют порядок є3, если стороны порядка е.
Интегралы формы to по интегральным кривым точно равны нулю. Стало быть, по формуле Стокса приращение высоты вдоль интегральной кривой, лежащей над какой-либо из сторон параллелограмма, равно интегралу 1-формы to вдоль этой стороны с точностью до величин третьего порядка малости.
Теперь доказываемая теорема вытекает непосредственно из определения внешней производной.
Остается еще произвол в выборе 1-формы со, с помощью которой построена наша 2-форма. А именно, форма со определена полем плоскостей лишь с точностью до умножения на нигде не обращающуюся в нуль функцию /. Иными словами, мы могли бы начинать с формы /со. Тогда мы пришли бы к 2-форме
dfw = fdw + df Д со,
которая на нашей плоскости отличается от 2-формы dco умножением на отличное от нуля число / (0).
Таким образом, построенная 2-форма на плоскости поля определена инвариантно с точностью до умножения на отличную от нуля постоянную.
Условие интегрируемости поля плоскостей.
Теорема. Если поле гиперплоскостей интегрируемо, то построенная выше 2-форма в плоскости поля равня нулю. Обратно, если построенная в каждой плоскости поля 2-форма равна нулюг то поле интегрируемо.
Первое утверждение теоремы очевидно по построению 2-формы. Доказательство второго утверждения можно провести в точности теми же рассуждениями, с помощью которых мы доказывали коммутативность фазовых потоков, для которых равна нулю скобка Пуассона полей скоростей. Можно и просто сослаться на эту коммутативность, применяя ее к интегральным кривым, возникающим над прямыми координатных направлений в горизонтальной плоскости.
Теорема. Условие интегрируемости поля плоскостей
da> = 0 при со = 0
эквивалентно следующему условию Фробениуса:
о Д dco = 0.
Доказательство. Рассмотрим значение выписанной 3-формы на каких-нибудь трех разных координатных векторах. Из них вертикальным
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
319
может быть лишь один вектор. Поэтому из всех слагаемых, входящих в определение значения внешнего произведения на трех векторах, отличным от нуля может быть лишь одно, равное произведению значения формы to на вертикальном векторе на значение формы da на паре горизонтальных векторов. Если заданное формой поле интегрируемо, то второй сомножитель равен нулю, н, следовательно, наша 3-форма равна нулю на всех вообще тройках векторов.
Обратно, если 3-форма равна нулю для любых векторов, то она равна нулю для любой тройки координатных векторов, один из которых вертикален, а два горизонтальны. Значение 3-формы на такой тройке равно произведению значения и на вертикальном векторе на значение dco на паре горизонтальных. Первый сомножитель не нуль, значит, второй нуль, и, значит, форма da на плоскости поля равна нулю, ч. т. д.
В. Невырожденные ноля гиперплоскостей.
Определение. Поле гиперплоскостей называется невырожденным в точке, если ранг 2-формы dco |и=0 в плоскости поля, проходящей через эту точку, равен размерности плоскости.
Это значит, что для всякого ненулевого вектора нашей плоскости должен найтись другой вектор в плоскости так, что значение 2-формы для этой пары векторов отлично от нуля.
Определение. Поле плоскостей называется невырожденным на многообразии, если оно невырождено в каждой точке многообразия.
