Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
311
Действительно, рассмотрим эрмитово-ортогональное дополнение H к направлению вектора » в пространстве ГС'г1+1, где * (= €= S2n_1. Отображение рт: H-^-T (CP*V изоморфно (как мы показали выше) отображает H на касательное пространство к СРП и переносит туда эрмитову структуру из Н.
Ясно, что скалярный квадрат, определенный этой эрмитовой структурой, дается формулой (2). Поэтому формулу для эрмитова скалярного произведения в касательном пространстве к СРП можно написать без новых вычислений:
для любых векторов I1, |2 из TCx+1, удовлетворяющих соотношению р?ъ = ?SGT (CFV
Заметим, что в формуле (3) точка ж не обязательно лежит на единичной сфере.
Построенные евклидова и эрмитова структуры (2), (3) в касательных пространствах к СРП инвариантны не относительно всех проективных преобразований многообразия СР", но лишь относительно тех, которые задаются унитарными (сохраняющими эрмитову структуру) линейными преобразованиями линейного пространства Cn+1.
Б. Симплектическая структура комплексного проективного пространства. Рассмотрим мнимую часть эрмитовой формы (3)^ взятую с коэффициентом —1/я (зачем взят такой коэффициент, объяснено в задаче 1 на стр. 313)
? (E1. E1) 41ш (4)
Как и мнимая часть любой эрмитовой формы, вещественная билинейная форма Q на касательном пространстве к комплексному проективному пространству кососимметрична и невырождена.
Теорема. Дифференциальная 2-форма Q задает на комплексном проективном пространстве симплектическую структуру.
Доказательство» В доказательстве нуждается только замкнутость формы Q.
Рассмотрим внешнюю производную dQ формы Q. Эта дифференциальная 3-форма на многообразии СР" инвариантна относительно отображений, индуцированных унитарными преобразованиями пространства С™+1. Отсюда следует, что она равна нулю.
В самом деле, рассмотрим в касательном пространстве к СРП в какой-либо точке s эрмитово-ортонормированный С-базис et,. . ., еп. Тогда векторы C1, . . ., еп, Ie11 . . ., ien образуют евклидово-ортонормированный R-базис. Покажем, что значение формы dQ на любой тройке этих К-базис-ных векторов равно нулю. (Мы предполагаем, что п>1: при n=i доказывать нечего.)
Заметим, что из любой тройки R-базисных векторов, указанных выше, по меньшей мере один эрмитово-ортогонален двум другим. Обозначим этот вектор через е. Легко построить унитарное преобразование пространства
312
ДОБАВЛЕНИЕ З
С"+1, индуцирующее в CP" движение, оставляющее на месте рассматриваемую точку z и эрмитово-ортогональное дополнение к е и меняющее направление вектора е.
Значение формы dii на наших трех векторах е, /, д равно ее значению на тройке —е, /, д ввиду инвариантности формы dQ и, следовательно, равно нулю. Теорема доказана.
Замечание. Другой способ построения той же симплектической структуры на комплексном проективном пространстве состоит в следующем. Рассмотрим малые колебания математического маятника с п + 1-мерным конфигурационным пространством. Воспользуемся интегралом энергии для уменьшения на 1 числа степеней свободы системы. Фазовое пространство, полученное после этой операции, есть СР™, а симплектическая структура в нем совпадает с описанной выше формой Q с точностью до множителя.
Еще один способ построения симплектической структуры на СР" состоит в том, что это пространство можно представить как одну из орбит коприсоединенного представления группы Ли, а на каждой такой орбите всегда есть стандартная симплектическая структура (см. добавление 2, пункт А). В качестве группы Ли можно взять группу унитарных (сохраняющих эрмитову метрику) операторов в п -\- 1-мерном комплексном пространстве. Орбиты коприсоединенного представления в этом случае такие же, как и у присоединенного. В присоединенном же представлении оператор отражения в гиперплоскости (меняющий знак первой координаты и оставляющий остальные) имеет своей орбитой СР". Ибо оператор отражения в гиперплоскости однозначно определяется ортогональной ей комплексной прямой.
В. Симплектические структуры проективных алгебраических многообразий. Мы получаем теперь симплектическую структуру на любом комплексном подмногообразии M комплексного проективного пространства. А именно, пусть /: M —*¦ СРП — вложение комплексного многообразия M в комплексное проективное пространство. Риманова, эрмитова и симплектическая структуры на проективном пространстве индуцируют на M соответствующие структуры. Например, симплектическая структура на M задается формулой
QM = j*Q.
Теорема. Дифференциальная форма Qm задает на многообразии M симплектическую структуру.
Доказательство. Невырожденность 2-формы QM следует из того, что M — комплексное подмногообразие. Действительно, квадратичная форма на TMx
(МЛ) = (1,H)
положительно определена (она индуцирована римановой метрикой СРП). Следовательно, билинейная форма (|, rj) = QM (|, щ) невырождена. Значит, невырождена и форма QM. Замкнутость формы QM следует из замкнутости формы Q. Теорема доказана.
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
