Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Задача. Существуют ли у этого поля плоскостей интегральные мно~ гообразия большей размерности? Ответ. Нет.
Задача. Можно ли задать поле контактных гиперплоскостей дифференциальной 1-формой на многообразии всех контактных элементов?
Ответ. Нет, даже если исходное и-мерное многообразие — евклидово пространство (например, обычная двумерная плоскость).
Ниже мы докажем, что поле контактных гиперплоскостей на 2п — 1-мерном многообразии всех контактных элементов п-мер-ного многообразия невырождено.
Доказательство проводится с помощью симплектической структуры кокасательного расслоения.
Дело в том, что многообразие контактных элементов связано простой конструкцией с пространством кокасательного расслоения (проективизацией которого является многообразие контактных элементов). Причем невырожденность поля контактных плоскостей проективизированного расслоения тесно связана с невырожденностью 2-формы, задающей симплектическую структуру кокасательного расслоения.
Конструкцию, о которой идет речь, мы проведем ниже в несколько более общей обстановке. Именно, по всякому нечетно-мерному многообразию с контактной структурой можно построить его «симплектизацию» — симплектическое многообразие, число измерений которого на 1 больше. Взаимоотношения между этими двумя многообразиями — контактным нечетномерным и
322
ДОБАВЛЕНИЕ 4
симплектический четномерным — такие же, как между многообразием контактных элементов с его контактной структурой и ко-касательным расслоением с его симплектической структурой.
Д. Симплектизация контактного многообразия. Рассмотрим произвольное контактное многообразие, т. е. многообразие нечетной размерности N с невырожденным полем касательных гиперплоскостей (четной размерности N — 1). Эти плоскости мы будем называть контактными плоскостями. Каждая контактная плоскость касается контактного многообразия в одной точке. Эту точку мы будем называть точкой контакта.
Определение. Контактной формой мы будем называть всякую такую линейную форму на касательном пространстве в точке контактного многообразия, что ее множеством нулей является контактная плоскость.
Следует подчеркнуть, что контактная форма — не дифференциальная форма, а алгебраическая линейная форма на одном касательном пространстве.
Определение. Симплектизацией контактного многообразия называется множество всех контактных форм на контактном многообразии, снабженное структурой симплектического многообразия, определенной ниже.
Заметим прежде всего, что множество всех контактных форм на контактном многообразии имеет естественную структуру гладкого многообразия четной размерности N + 1. А именно, мы можем рассматривать множество всех контактных форм как пространство расслоения над исходным контактным многообразием. Проекция на базу — это отображение, сопоставляющее контактной форме точку контакта.
Слоем этого расслоения является множество контактных форм с общей точкой контакта. Все такие формы получаются друг из друга умножением на отличное от нуля число (так как они задают одну и ту же контактную плоскость). Таким образом, слой нашего расслоения одномерен: это прямая без точки.
Заметим также, что на многообразии всех контактных форм действует группа отличных от нуля вещественных чисел с операцией умножения. А именно, произведение контактной формы на ненулевое число есть снова контактная форма. При этом группа действует на нашем расслоении, оставляя каждый слой на месте (при умножении формы на число точка контакта не меняется).
Замечание. До сих пор мы нигде не использовали невырожденность поля плоскостей. Невырожденность нужна лишь для того, чтобы получающееся при симплектизации многообразие было симплектический.
Пример. Рассмотрим многообразие (размерности 2п — 1) всех контактных элементов и-мерного гладкого многообразия. На многообразии элементов есть поле гиперплоскостей (которые мы
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
323
определили выше и назвали контактными). Следовательно, можно симплектизовать многообразие контактных элементов.
В результате симплектизации получается 2и-мерное многообразие. Это многообразие есть пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых векторов. При этом действие мультипликативной группы вещественных чисел на слое сводится к умножению на числа векторов кокасательного пространства.
На кокасательном расслоении есть замечательная 1-форма «р dq». Аналогичная 1-форма имеется и на любом многообразии, полученном симплектизацией из контактного многообразия.
Каноническая 1-ф орма на пространстве-симплектизации.
Определение. Канонической l-формой на пространстве-симплектизации контактного многообразия называется дифференциальная 1-форма а, значение которой на каждом векторе |, касательном к пространству-симплектизации в некоторой точке р (рис. 237), равно значению на проекции вектора % в касательную плоскость к контактному многообразию той 1-формы на этой касательной плоскости, которой является точка р:
a (I) = P (я*!),
Рис. 237. Симплектизации контактного многообразия
