Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Если N ^> 2, то гиперплоскость уже не является прямой, и дело обстоит значительно сложнее. Например, поле двумерных касательных плоскостей в обычном трехмерном пространстве не всегда можно диффеоморфно отобразить на поле параллельных плоскостей. Дело в том, что существуют такие поля касательных плоскостей, для которых невозможно провести «интегральную поверхность», т. е. такую поверхность, которая имела бы предписанную касательную плоскость в каждой своей точке.
Условие невырожденности поля гиперплоскостей, которое входит в определение контактной структуры, состоит в том, что поле гиперплоскостей должно быть максимально удалено от поля касательных к семейству гиперповерхностей. Чтобы измерять эту удаленность, да и вообще чтобы убедиться в существовании полей без интегральных гиперповерхностей, нам придется проделать некоторые построения и вычисления **).
*) Гиперплоскостью в линейном пространстве называется подпространство, размерность которого на 1 ниже размерности пространства (т. е. множество нулевого уровня линейной функции, не равной нулю тождественно).
Касательная гиперплоскость — это гиперплоскость в касательном пространстве.
**) Начиная с этого места мы опускаем приставку «гипер». При желании можно считать, что мы находимся в трехмерном пространстве и гиперповерхности — это обычные поверхности. Многомерный случай аналогичен трехмерному.
316
ДОБАВЛЕНИЕ 4
Б. Условие интегрируемости Фробениуса. Рассмотрим какую-либо точку на JV-мерном многообразии и попытаемся построить поверхность, проходящую через эту точку и касающуюся данного поля N — 1-мерных плоскостей в каждой точке (интегральную поверхность).
С этой целью введем в окрестности рассматриваемой точки систему координат так, чтобы в самой точке одна координатная поверхность касалась плоскости поля. Эту плоскость мы будем называть горизонтальной плоскостью, а не лежащую в ней координатную ось — вертикальной.
Построение интегральной поверхности. Интегральная поверхность, если она существует, является вблизи начала координат графиком одной функции от N — 1 переменных. Чтобы ее построить, мы можем рассмотреть на горизонтальной плоскости какой-либо гладкий путь. Тогда вертикальные прямые над этим путем образуют двумерную поверхность (пилиндр), а наше поле плоскостей высекает на ней поле касательных прямых. Искомая интегральная поверхность, если она есть, пересекает цилиндр по интегральной кривой поля прямых, выходящей из начала координат. Такая интегральная кривая есть всегда, независимо от того, существует ли интегральная поверхность. Таким образом, мы можем строить интегральную поверхность над горизонтальной плоскостью, двигаясь по гладким кривым в последней.
При этом для того, чтобы из всех интегральных кривых получилась гладкая интегральная поверхность, нужно, чтобы результат нашего построения не зависел от пути, но определялся лишь его конечной точкой.
В частности, при обходе замкнутого пути в окрестности начала координат на горизонтальной плоскости интегральная кривая на цилиндре должна замкнуться.
Легко построить примеры полей плоскостей, для которых такого замыкания не происходит, п, следовательно, интегральная поверхность не существует. Такие поля плоскостей называются неинтегрируемыми.
Пример неинтегрируемого поля плоскостей. Чтобы задавать поля плоскостей и измерять количественно отклонение от замыкания, мы введем следующие обозначения.
Заметим прежде всего, что поле гиперплоскостей локально можно задавать дифференциальной 1-формой. Действительно, плоскость в касательном пространстве задает 1-форму, с точностью до умножения на отличную от нуля постоянную. Выберем эту постоянную так, чтобы значение формы на вертикальных координатных касательных векторах было равно 1.
Этому условию можно удовлетворить в некоторой окрестности начала координат, поскольку плоскость поля в нуле не содержит
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
317
вертикального направления. Это условие определяет форму однозначно (по полю плоскостей).
Поле плоскостей в обычном трехмерном пространстве, не имеющее интегральных поверхностей, можно задать, например, 1-формой
со = xdy -f- dz,
где X и у — горизонтальные координаты, a z — вертикальная. Доказательство того, что это поле плоскостей неинтегрируемо, приведено ниже.
Построение 2-ф о р м ы, измеряющей H е и H-тегрируемость. С помощью формы, задающей поле, можно измерять степень неинтегрируемости. Делается это при помощи следующей конструкции (рис. 236).
Рассмотрим пару векторов, выходящих пз начала координат и лежащих в горизонтальной плоскости нашей координатной системы. Построим на нпх параллелограмм. Мы получим два пути из начала координат в противоположную вершину. Над каждым из этих двух путей можно построить интегральную кривую (двузвенную), как описано выше. В результате над противоположной началу вершиной параллелограмма возникнут, вообще говоря, две разные точки. Разность высот этих точек является функцией от нашей пары векторов. Эта функция кососпмметри-чна и равна нулю, если равен нулю один из векторов. Следовательно, линейная часть ряда
