Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
флу> «о-
і
Подставим эти разложения в (*). Мы получаем для каждого многочлена P в области UxV представление
P (х) = 2 Ci (е) et (х) + 2 hj (х, е) ур у . = Utj (х), (**)
где hj голоморфны з UxV.
Вторая сумма принадлежит идеалу Ift(U). Лемма доказана.
Замечание 1. Построенная нами линейная комбинация функций е{, эквивалентная полиному P по модулю идеала, голоморфно зависит от параметра е.
Предложение 2 вытекает из леммы 3.
5.8. Оценка числа решений системы уравнений. В этом пункте доказывается предложение 3 п. 5.7.
Лемма 1. Пусть ^-размерность полиномиальной подалгебры отображения g в области U конечна. Тогда каждый ноль отображения g конечнократен.
Доказательство. Пусть а — ноль отображения g. Пусть ср. — линейные функции, обращающиеся в 0 в точке а. Если размерность полиномиальной подалгебры равна р., то образы в ней jn+l многочлена 1, Ti> ?i"T2> • • • , Ti •¦ • линейно зависимы. Рассуждая, как в лемме п. 5.5, получим, что существует функция р g Л (U) такая, что р (а)=^=0 и Pcc1-. . .¦ (U).
Обращая функцию р в алгебре ростков голоморфных функций (а не многочленов) в точке^а, получаем, что Cp1-. . . • <р ? I3t а. Лемма доказана.
Лемма 2. Число различных корней системы g—0 в U (посчитанных без учета кратности) не превосходит С-размерности Ji полиномиальной подалгебры отображения g в области U.
Доказательство. Допустим, что существует f^+1 корень O11 . , . J A11. Существует многочлен Pi, равный 1 в корне 76
основные понятия
[гл. i
а{ и равный нулю в остальных fj. корнях. Образы fx+1 многочлена Pi в полиномиальной подалгебре линейно независимы. Это противоречит условию.
Несколько обозначений. Пусть O1, . . ., — все нули отображения g в области U.
Определение. Мультилокалъной алгеброй системы g=О в области U называется прямая сумма локальных алгебр ростков g
в точках о,.. Обозначение: Ag(U)= 2 Qg, ai-
Сопоставим каждой функции A (U) набор ее ростков в точках a^ Это сопоставление индуцирует гомоморфизм С-алгебр A (U) ш Ag (U), который мы будем обозначать через я.
Лемма 3. Пусть С-размерность полиномиальной подалгебры отображения g в области U конечна. Тогда образ алгебры полиномов при гомоморфизме я совпадает с мультилокалъной алгеброй
К (и).
Доказательство. Пусть O1, ... , av — корни отображения g в области U (их конечное число согласно лемме 2).
Каждый корень Oj имеет конечную кратность (по лемме 1). Функции, у которых совпадают струи порядка в точке я,., определяют одинаковые элементы в локальной алгебре Qf7i . Существует многочлен с произвольными наперед заданными струями порядков Hi в конечном множестве точек O1, . . . , Ctv.
Предложение 3 вытекает из леммы 3, поскольку при гомоморфизме и идеал Ig (U) переходит в ноль.
5.9. Изолированность и конечнократность. Докажем теорему 2 п. 5.2. Было показано, что конечнократный корень системы голоморфных уравнений изолирован (см. п. 5.5). Осталось доказать
Предложение. Изолированный корень конечнократен.
Доказательство. Пусть О — изолированный корень системы /—0. Согласно локальному варианту теоремы Гильберта о нулях, существует такое N, что ау Є I/,0- Предложение доказано.
Дадим теперь его прямое доказательство, не использующее теорему о нулях.
Пусть шар В лежит в области сходимости ряда Тейлора ростка / в точке О и система /=O имеет в шаре единственный корень 0.
Лемма. Для всякого к существует полиномиальное отображение g такое, что-. 1) струи fug порядка к в точке О равны, 2) росток g в точке 0 конечнократен, 3) Ц/)| > ||/—на сфере дБ.
Доказательство. Подберем g в виде g—f^+ex1, где /^1 — многочлен Тейлора / степени Z — 1>1( и і' — отображение Фама Фт, т—1, . . . , I. 1°. Росток g конечнократен в нуле. Действительно, в полиномиальной подалгебре отображения g в С" справедливы соотношения sxl =—Используя эти соотношения, можно понизить степень всякого многочлена, если его g 5] ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 77
степень по одной из переменных больше или равна I. Следовательно, размерность полиномиальной подалгебры конечна и каждый ноль отображения g конечнократен (см. п. 5.5). 2°. Выберем I и затем є так, чтобы )|/|| > ))/ — g\) на сфере дБ. Лемма доказана.
Доказательство предложения. Выберем отображение g для к=Ind0 [/].
1°. Степень отображения gl\\g\\ сферы dB в единичную сферу равна к (условие 3).
2°. ind„ [g] ^ к (следствие 3 п. 5.4).
3°. [^]=md0 [^] к (теорема 1 п. 5.2).
4°. Ростки / и g А-эквивалентны в нуле, так как отличаются малыми порядка А+1 или выше (предложение 2 п. 5.5). Следовательно, росток / в точке 0 конечнократен.
5.10. Мультилокальная алгебра распавшегося корня. В пп. 5.3—5.8 были проверены все предложения, использованные в п. 5.2 при доказательстве теоремы 1. Эти предложения содержат и дополнительную информацию.
Пусть L — С-линейное пространство, натянутое на функции еі і • • • > 6J1, ростки которых в нуле образуют базис локальной алгебры отображения /.
Теорема. Для всякой деформации {/J ростка f существуют окрестность нуля С/сС" и окрестность нуля V в пространстве параметров такие, что при любом є ? V
