Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
1) отображение я: L —> Aft (U) является изоморфизмом линейных пространств;
2) каждый многочлен P в алгебре A (U) эквивалентен по модулю идеала Ift (U) единственному элементу пространства L и этот элемент аналитически зависит от є.
Доказательство. 1) вытекает из того, что отображение тс; L Aft (U) пространств одинаковой размерности является отображением «на» (поскольку полиномиальная подалгебра отображается «на» и каждый полином сравним с элементом из L). Единственность в п. 2) вытекает из 1), голоморфность — из замечания 1 п. 5.7.
Задача. Изоморфизм я: L -*¦ Aft (U) задает в линейном пространстве L структуру алгебры, зависящую от параметра є. Показать, что эта структура голоморфно зависит от г (т. е. что произведение двух элементов из L голоморфно зависит от е).
5.11. Билинейные формы на локальной алгебре. Пусть /: (С, 0) -»• (С", 0) — отображение кратности р- со и Qf — его локальная алгебра. Мы определим на Qf семейство билинейных симметрических форм и докажем их невырожденность.
Рассмотрим якобиан /=det (dfldx), вычисленный в какой-либо системе координат. Класс якобиана в Qf будем также обозначать буквой J и называть якобианом.І50
основные понятия
" [гл. i
Теорема 1. Якобиан не принадлежит идеалу If.
Рассмотрим какую-либо линейную форму a: Qf —> С. Определим билинейную форму Бя на Qf по формуле
Б>, h) = a(g -А).
Теорема 2. Билинейная форма Бв невырождена, если и только если а не обращается в ноль на J.
Аннулятором (анн I) идеала I называется множество всех g таких, что gi=0 для всех і из I. Аннулятор идеала является идеалом.
Следствие 1. Если a (J)^=O, то аннулятор идеала в Qf совпадает с его ортогональным дополнением относительно формы Ба.
Доказательство. 1°. Если ai=0, то Ба (а, 0=0. 2°. Если Ба (а, t)=0 для всех і из /, но аі^= 0, то вследствие невырожденности формы Ба существует с, для которого Ба (аг0, с)=^= 0. Но Ба (аі0, с)=Ба(а, іос)=0, поскольку
Следствие 2. ami (ann Г) =/.
Доказательство. (Р-)А=/.
Доказательство теорем 1 и 2 основано на построении специальной формы Б =Б„0.
Рассмотрим алгебру Q функций на ^ точках аг Возьмем линейную форму Z на Q, I (А)=2tP (at)h (а;), построенную по «весовой функции» ср. Определим билинейную форму Б (?, g) на Q по формуле Б (A, g)=l Qi-g). Эта форма невырождена, если весовая функция- не обращается в ноль ни в одной из точек а{.
Локальная алгебра Qf есть алгебра функций на слившихся точках. Оказывается, можно подобрать вес ср так, что при слиянии точек форма Б на Q имеет пределом вполне определенную и притом невырожденную форму на Qf. Для этого ср должно стремиться к оэ при слиянии точек (иначе предельная форма будет вырождена). Оказывается, в качестве ср достаточно взять 1U, где J — якобиан/.
Корень 0 системы /=0 рассыпается на корней системы /=е при малых регулярных значениях s. Пусть %,..., a^ — эти корни. Для любой голоморфной в нуле функции А положим
Z« (A) = ^h (а,)// (а,).
Предложение 1. При стремлении регулярного значения s к нулю I* (А) стремится к конечному пределу.
Этот предел мы будем обозначать символом [А//].
Пример 1. Для функции h=gj справедливо равенство [Л/Я=W (0).
Предложени Линейная форма а0 (•)= [• //] равна
нулю на идеале If и, следовательно, определяет линейную форму на локальной алгебре Qf.g 5] локальная кратность голоморфного отображения 86
Предложение 3. Билинейная форма Б =Boto на локальной алгебре, построенная по линейной форме а0 (•) — [•//], невырождена.
Доказательства предложений 1—3 даны в пл. 5.14—5.18. Выведем из них теоремы 1, 2.
Доказательство теоремы 1. [///]=рт^0. Следовательно, JfyIf (предложение 2).
Доказательство теоремы 2. Всякая линейная форма а на Qf имеет вид а (• )=Б (., а*) (так как форма Б невырождена). Поэтому Ба (A, я)=Б (A, gа*). Форма Б (A, gа*) невырождена, если и только если элемент а* обратим, но a (J)-=Б (/, а*)==ц.а* (0) (пример 1). Поэтому а* обратим, если и только если a (J)=T^O.
Следствие 3. Идеал, порожденный якобианом в Qfr одномерен и не зависит от системы координат, использованных при определении якобиана. Этот идеал содержится в любом ненулевом идеале алгебры Qf.
Доказательство. Равенство из примера 1 показывает, что максимальный идеал m — Б-ортогональное дополнение к прямой U. Эта прямая является поэтому инвариантно определенным идеалом — аннулятором максимального идеала (следствие 1). Для ненулевого идеала I справедливо включение /xCIm и, следовательно, включение тхС/.
Замечание. Символ [А//] допускает интегральное представление
где интегрирование ведется по малому циклу, заданному уравнениями I fk I2=Sfc (см. п. 5.18). Эту формулу можно принять за определение символа и, исходя из него, доказать свойства символа, а с ними и теоремы 1 и 2.
5.12. Индекс особой точки вещественного ростка. Пусть -/: (R", 0) (R", 0) — вещественно-аналитическое отображение кратности fi <[ со и Qf — его локальная R-алгебра. Выберем в обоих R" ориентации и обозначим через J якобиан, вычисленный в ориентирующих координатах.