Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Индекс конечнократного голоморфного ростка равен его кратности.
Теорема 2. Росток голоморфного отображения не является конечнократным в точке а, если и только если а есть неизолированный прообраз нуля ростка.
Доказательство теоремы 2 приведено в п. 5.9. Ниже излагается доказательство теоремы 1. Оно основано на формулируемых ниже предложениях 1°—7°, доказанных в пп. 5.3—5.8.
1°. Универсальность отображения Фама.
Определение. Отображение Ф"1: С С, определенное формулами
JZ1 = Zp, • . ., у„ = х%«,
называется отображением Фама.
Определение. Два ростка / и g в точке а называются алгебраически эквивалентными или, короче, А-эквивалентными, если существует росток голоморфного семейства линейных невырожденных отображений А (х) ? GL (га, С) такой, что f (х) — =A (х) g (.X).
Предложение. Пусть /: (С", 0)->€" — росток конечно-кратного отображения. Тогда существует отображение Фама Ф"1 такое, что росток f в 0 А-эквивалентен ростку отображения
фт __ ф>п при любом g-4 0.
Иными словами, малой деформацией отображения Фама можно, получить любой (с точностью до А -эквивалентности) конечно-кратный росток.
2°. Предложение. Индекс и кратность нуля фамов-ского отображения совпадают.
3°. Предложение. Индексы А-эквивалентных ростков равны.
4°. Предложение. Кратности А-эквивалентных ростков равны.
5°. Аддитивность индекса. Пусть система из к голоморфных уравнений в С" голоморфно зависит от параметра. g 5] ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ голоморфного отображения 69
При изменении параметра кратный корень системы может распасться.
Предложение. Сумма индексов корней, образовавшихся при распадении кратного корня системы, равна индексу этого корня.
6°. Субаддитивность кратности.
Предложение. Сумма кратностей корней, образовавшихся при распадении кратного корня системы, не превосходит кратности этого корня.
7°. Предложение. Кратность корня не меньше его индекса.
Доказательство теоремы 1. Пусть /: (Ся, 0) (С", 0) — росток конечнократного отображения. Выберем отображение Фама Ф так, чтобы ростки / и Фе = Ф -f- sZ в нуле при є =^= 0 были Л-эквивалентны (см. 1°). Выберем достаточно малую окрестность U точки 0. Выберем достаточно малое є (U) ]> 0. Рассмотрим продеформированное отображение Фама Ф8 == Ir. Пусть а,- — корни системы W = O, лежащие в окрестности U. Получаем цепочку соотношений:
Мф1> SfV- <см- 6°)'
(см. 7°),
(1)
2 Snde^W] == Ind0 [Ф] (см. 5°), IticL0 [Ф] = ^0 [Ф] (см. 2°).
Из этой цепочки следует, что все входящие в нее неравенства являются равенствами. Поскольку /(0) = 0, среди корней а{ есть точка 0. Следовательно,
f*0[4n=ind0m
(так как неравенство (1) обращается в равенство). Но, так как ростки / и ЧГ Л-эквявалентны, имеем
^m=M4H (см. з°),
ind0[/] = Ind0 [ЧГ] (см. 4°).
Тем самым теорема 1 доказана в случае, когда /(0) = 0. Если же / (0) 0, то, как легко проверить,
N [/I = Inde [/J = O.
5.3. Индекс вещественного ростка. Индекс определяется не только для голоморфных отображений, но и для гладких отображений вещественных пространств.
Пусть /: (R", a) R" — гладкий росток в точке а.
Определение. Индексом inde[/] называется степень отображения //|/||: S^1 -» S достаточно малой сферы ||ж — а|| = е 70
основные понятия
[гл. і
в пространстве-прообразе в единичную сферу в пространстве-образе.
Индекс не определен, если а является неизолированным нулем ростка /.
Пример. Если / (O)=O и матрица Якоби / в точке 0 невырождена, то индекс точки 0 равен плюс или минус единице в зависимости от знака якобиана.
Пусть в замкнутом шаре В CZ R" нет нулей отображения /: (R", 0) -> R", кроме, быть может, точки 0, и пусть /е — произвольная гладкая деформация отображения /.
Предложение 1. Для достаточно малых е. сумма индексов нулей пошевеленного отображения fse шаре В равна индексу точпи 0 исходного отображения /, если этих нулей конечное число.
Действительно: 1°. Все отображения =ре=/е/|| fe I! : dB -> S1 с достаточно малыми є гомотопны между собой. 2°. Степень отображения tpe равна сумме индексов нулей отображения в шаре В.
Следствие. Индекс точки ноль отображения f равен числу прообразов в шаре В любого достаточно малого регулярного значения в Є R", посчитанных с учетом знака якобиана в этих точках.
Для доказательства достаточно к деформации /, = / — є применить утверждение предложения 1 и воспользоваться вычислением индекса невырожденного нуля.
Определение. Два ростка /, g: (R", 0) -> R" называются вещественно А-эквиваленшными, если существует росток гладкого семейства линейных отображений А (х): Rn->R" такой, что det-4(0)>0 и g(x) = A(x)f(x).
Предложение 2. Индексы вещественно А-швивалентных ростков равны.
Доказательство. Поскольку det А (0) > 0, можно соединить AcE гомотопией At с det At (х) > 0. Гомотопия gt = =AJ соединяет g с / и не имеет нулей на малой сфере.
5.4. Индекс голоморфного ростка.
Предложение 1. Определитель овеществления A: R2" —> R2" невырожденного комплексно-линейного отображения А: С—* С" положителен.
