Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
1) множество особенностей множества критических точек отображения;
2) множество критических точек ограничения / на неособую часть множества критических точек;
3) множество критических точек отображения /, в которых кратность выше, чем в соседних критических точках.
Нетрудно доказать, что коразмерность каждого из этих множеств для отображения конечного типа больше 1, а все остальные точки хорошие.
4°. Множество плохих точек в прообразе аналитическое, поэтому и множество плохих точек в образе аналитическое (теорема Реммерта) коразмерности больше 1.
5°. По теореме Гартогса след голоморфно продолжается на множество плохих точек.
Ниже приведено другое доказательство теоремы о следе, не использующее ссылок на теоремы Реммерта и Гартогса.
5.17. Интегральное представление следа. Пусть /:М->У— отображение конечного типа на область V пространства С" и ш — голоморфная »-форма в М. Выберем в С" координаты yv ¦ . уп. Определим функцию [Tr ш] в регулярных значениях отображения как коэффициент в представлении
Tr ш = [Тг ш] dyx /\ ... /\ dyn.
Рассмотрим отображение \ ff: M R", Z1 (ж) |2, . . ., | fH(x)|а).
Пусть 8 — положительный вектор из R". Определим полидиск Уа условиями J ук |2 <[ Sfc, его остов Тъ — условиями I ук |2 = Sfc.
Теорема. Пусть S — некритическое значение отображения j / |а такое, что полидиск Vs вместе с остовом лежит в об- g 5] локальная кратность голоморфного отображения
94
ласти V. Тогда в полидиске функция [Тг ш] допускает интегральное представление
[Tr ш] (у) = ^gLs Jm7^y, W
Г5
где цикл Г8 определен условием (/J2 = S.
Определим мероморфвую /г-форму на М, зависящую от точки у из V, формулой = (0/[(2іи)яП (Zi-^i)].
Определим отображение j / — у р: M R", зависящее от параметра у ? V, формулой я >-> (| Z1 — Jz1 j2, .. ., j /в — уп I2). Прообраз регулярного значения , р ? (R+)" при достаточно малых у и р является компактным многообразием. Обозначим его через Tyf .
Лемма 1. В окрестности регулярного значения отображе-ния f справедливо равенство
[Tr ш]= j «V
5V р
(для всякого достаточно малого вектора р с положительными компонентами).
Доказательство. Прообраз малой окрестности W регулярного значения состоит из р. непересекающихся окрестностей XJу Отождествим окрестности Uj с окрестностью W при помощи отображения / и будем пользоваться в Uj системой координат fl7 /я. Пусть в Uj * = Sjdfx ... AdU Тогда [Tr ш] = ?. С другой стороны, при малом р цикл распадается на № торов Ty, лежащих в окрестностях Uj (и определенных в них п уравнениями j fi — у і (2 = Pi). Согласно интегральной формуле Коши
1 Cgjih. •••. /J^AA ••• Mf) —' (2*i)" J Uifi-Уі)
tJ
В наших обозначениях это равенство принимает вид gj(y)= ^ uy
"rJ
Следовательно' ^ = 2^/(^)- Лемма доказана. 1V, р
Лемма 2. Для всякого достаточно близкого к нулю регулярного значения у отображения f цикл при малом р (|рКр0(у)) гомологичен циклу Г3 в дополнении к множеству особенностей форМЫ (dj,.
Доказательство основано на том, что прообразы регулярного значения при двух гомотопных гладких собственных отображениях гомологичны. 88
основные понятия
[ГЛ. I
1°. Цикл Гг определен при помощи невырожденной системы уравнений. Небольшое изменение этих уравнений лишь немного изменит цикл. Для любого у из достаточно малой окрестности нуля W0 циклы Г(г)=Г/у 5 при изменении t от 0 до 1 осуществляют гладкую гомотопию цикла Г5 в цикл 8. Аналогично, для у G W0 и любого достаточно малого р ? R" (| р j р0 (у)) циклы Г(і)= Fy t Шр осуществляют гладкую гомотопию цикла 8 в цикл Г,. 5+р.
2°. Рассмотрим отображение M X R —;*¦ R", зависящее от параметра у G V, переводящее точку (ж, t) в точку с координатами I ft (х) — У і |2 — Пусть р — регулярное значение этого отображения столь малое, что Ipj^p0(у) и что цикл распадается на (і торов Tj (см. лемму 1). Прообраз р определяет в M X R гладкое (»-j-1)-мерное многообразие. Проекция в M части этого многообразия, выделенной неравенствами ^l, является пленкой, натянутой между циклами 8 и ? = ^iTj. Лемма доказана, так как ни построенная пленка, ни предъявленные гомотопии не задевают особенностей формы <лу.
Доказательство теоремы, 1°. Представление (*) имеет место при малых у. Действительно, по лемме 1 и 2 при малых у
Ь= 5 «V = [Tru>](ff).
Ts Гyt р
2°. Из 1° вытекает теорема о следе для и-форм.
3°. Из теоремы о следе вытекает голоморфность продолжения [Tr ш ] на все У; правая часть формулы (*) голоморфна в полицилиндре Vs. Согласно 1° левая и правая части совпадают в окрестности нуля; следовательно, они совпадают в У8.
Следствие. Существует интегральное представление для следа к-форм в n-мерном пространстве.
Рассмотрим, например, след 1-формы в С2, T г ш=O1 O^1+й2 dy 3. Умножая на dyz, мы находим
<h?yx Д dy2 = (Tr ш) Д dy2 = Tr (ш Д fdy2)
и получаем интегральное представление для коэффициента O1 как Tr (<оД/*сй/3).
Аналогично получаются интегральные представления для коэффициентов координатной записи следа ft-формы в С".
Замечание. Еще одно доказательство теоремы о следе содержится в статье [127]. Там же можно прочесть о применениях и обобщениях этой теоремы.
