Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. ДЛЯ НеВЫрОЖДеННОЙ КрИТИЧеСКОЙ ТОЧКИ fl==l и функция эквивалентна своему многочлену Тейлора степени 2 (это — лемма Морса, доказанная в п. 6.2). Этот пример показывает, что степень fJL+1 нельзя заменить меньшей.
Замечание. Если все функции с данной fc-струей (право) эквивалентны, то говорят, что эта струя docmamo4Ha. Таким образом, (fi+1 )-струя функции в критической точке кратности ц docmamo4Ha.
Если кратность р. критической точки бесконечна, то никакая конечная &-струя не достаточна.
Пример (Уитни). Рассмотрим голоморфную функцию трех переменных f(x, у, z)=xy(x-\-y)(x—zy)(x—ezy).
Критическая точка 0 не изолирована (вся ось z состоит из критических точек). Росток функции f в нуле не (право) эквивалентен ростку никакого многочлена.
Действительно, множество критического (нулевого) уровня / состоит из пяти гладких поверхностей, пересекающихся вдоль оси z. На плоскости z=const эти пять поверхностей высекают пять кривых, пересекающихся в одной точке. Двойные отношения, построенные по четырем касательным к этим кривым в точке пересечения, зависят от z. Если бы функция была эквивалентна многочлену, то зависимость каждого из этих двойных отношений § 6] устойчивость и инфинитезимальная устойчивость 95
от любого другого из них была бы алгебраической. Для нашей функции / эта зависимость неалгебраическая (из-за множителя е*), поэтому росток / не эквивалентен ростку многочлена.
6.4. Доказательство теоремы о конечной определенности. Пусть /: (Rm, 0)->(R, 0) имеет в нуле критическую точку конечной кратности р.. Утверждается, что для всякой добавки ср из Jn11+2 функция / -j- ср правоэквивалентна /. Рассуждая, как в доказательстве леммы Морса (п. 6.2), приходим к уравнению относительно поля Vt'.
Vi (ft (X))- (/ + M ^ -Cp (gt (X)), ср ? ю^.
Поскольку это равенство должно выполняться тождественно по X и t, достаточно решить при а = —ср уравнение относительно vt:
Vf(f + t9) = ai, а ? щі1+2.
Лемма 1. Всякий одночлен достаточно высокой степени (а именно степени и.) лежит в градиентном идеале Iv/ функции / (т. е. в идеале, натянутом на (df/dx1( . . ., df/dxm)). Научная формулировка леммы: Jnv" С Iv/-
Пример. Для невырожденной критической точки р. = 1,
Ivf = т.
Доказательство: см. п. 5.5.
Лемма 2. Всякий одночлен достаточно высокой степени (а именно степени и.) принадлежит градиентному идеалу функции /-|~ср, т. е. m11 C/v(/-h>).
Пример. Для невырожденной критической ТОЧКИ fi = 1, /у(/+<?,) = = Ivf = ш.
Доказательство леммы 2. Рассмотрим все одночлены степени р.. Их конечное число. Пусть Mt — один из этих одночленов (мономов). По лемме 1 Ms ? Ivf, т. е. существует разложение
>•=1
Заменяя в этой формуле f на / -j- мы получим разложение
і=і <=i
Вычитаемое принадлежит In11+1 (поскольку ср ? Jn^+2). Следовательно, вычитаемое можно представить в виде линейной комбинации одночленов Mp степени {а с коэффициентами из т. Мы получаем разложение
2?0*.- • м-- 2-м> (2-<¦»)¦•
•5=1 P V=I 1 96
основные понятия
[ГЛ. I
Рассмотрим эти соотношения как систему линейных уравнений относительно вектора M из неизвестных (M1, ¦ . ., Mn). Матрица системы имеет вид Е-\-А, где элементы матрицы А лежат в т. Правая часть является вектором B = (B1, . ¦ ., Bn), элементы ко-
торого Bs= > - -пi s принадлежат градиентному идеалу »=і
Zv(/+<p). Определитель матрицы EА при ж = 0 равен единице, поэтому система в окрестности нуля разрешима:
М = (Е-\-А)~1В.
Поскольку Bs ^ Jv(/+?)» мы получаем Ms ? /у(/+?), что и требовалось.
Замечание 1. Приведенное рассуждение с обращением матрицы в алгебре формализуется в виде так называемой леммы
Накаямы.
Замечание 2. Лемма 2 гарантирует разрешимость гомологического уравнения
Vt. (f -f ftp)= а (*)
Рис. II. при каждом фиксированном t, причем до-
статочно даже, чтобы а ? пг\ а не Iii11+2. Нам, однако, этого недостаточно, так как нам нужно решение V1, гладко зависящее от t, которое можно было бы интегрировать, чтобы определить gt при всех t от 0 до 1.
Пример. Рассмотрим действие группы вещественных дробно-линейных преобразований z і—* (az-\-b)l(cz-\-d) на плоскости комплексного переменного z. Вещественная ось и верхняя полуплоскость — разные орбиты этого действия. Рассмотрим кривую в верхней полуплоскости, касающуюся вещественной оси (скажем, z—t+it2; рис. 41).
Вектор скорости в каждой точке принадлежит касательной плоскости к соответствующей орбите, однако кривая переходит из одной орбиты в другую.
Рассуждения гомотопического метода в этом случае неприменимы, потому что, хотя гомологическое уравнение и разрешимо при каждом фиксированном t, решение нельзя выбрать гладко зависящим от t.
Можно показать, что в случае действия конечномерной группы Ли на конечномерном многообразии для возможности выбора гладко зависящего от t решения гомологического уравнения достаточно, чтобы размерности орбит вдоль рассматриваемой кривой не менялись (конечно, предполагается, что при каждом фиксированном t уравнение разрешимо). В этом предположении кривая, каждый касательный вектор которой принадлежит касательному пространству к орбите, вся лежит в одной орбите. § 6] устойчивость и инфинитезимальная устойчивость 97
