Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
ростки hjti и /,., не содержит корней системы / = О, отличных от точки 0.
5.6. Свойства отображения Фама. Пусть / — росток р-кратного отображения в точке 0. Рассмотрим отображение Фама Фт, тп~ = —(- 1,.. - t fi. -f- 1, и его деформацию Ф™ = Фт-{-є/.
Предложение 1. Росток отображения f А-эквивалентен в точке ноль ростку Ф™ при всех е =^ 0.
Доказательство. Росток є/ .4-эквивалентен ростку / в нуле, а Ф™ отличается от е/ малыми порядка -f- 1.
Предложение 2. Индекс и кратность отображения Фама в нуле равны между собой.
Доказательство 1°. Индекс равен числу решений системы уравнений = S1,.. х™ц — гп при общих B1, .... ея (см. предложение 2 из п. 5.4). Следовательно, ind0[Фт] = Tn1 • ... ¦ т„.
2°. Локальная алгебра Q0m 0 порождена мономами х%> ¦ ... ¦ х*», где 0 г^ Zc1 < mv . . ., О ^ к„ < тп. Размерность [A0 [Ф,п] этой алгебры, следовательно, равна тг ¦ ... • тп.
5.7. Субаддитивность кратности. Пусть {/J — произвольная деформация [а-кратного ростка отображения / в нуле.
Предложение 1 (о субаддитивности кратности). Существует окрестность нуля U в пространстве прообраза такая, что для любого достаточно малого |г | число корней системы /s=0 в окрестности U, посчитанное с учетом кратности, не превосходит fA.
3 амечание. Кратность субаддитивна даже в вещественном случае, где, в отличие от комплексного случая, она не аддитивна.
Следствие. Индекс конечнократного ростка не больше его кратности.
Для доказательства следствия достаточно применить утверждение о субаддитивности кратности к специальной деформации /.=/-в.
Пусть U с С" — открытое множество, A (U) — алгебра голоморфных функций, определенных на множестве U, и Ig (U) — идеал этой алгебры, порожденный функциями gx, . . ., gn. Алгеброй Q (U) отображения g в области U называется фактор-алгебра A (U)IIg (U).
Полиномиальной подалгеброй Qg [Щ отображения g в области U назовем образ алгебры многочленов в алгебре Qg (U) при гомоморфизме факторизации.
Субаддитивность алгебраической кратности вытекает из следующих двух предложений.
Предложение 2. Для всякой деформации (fe} ростка ^-кратного отображения / в точке 0 существует окрестность U нуля в прообразе такая, что для любого достаточно малого js| І50
основные понятия
" [гл. i
С-размерность полиномиальной подалгебры отображения^ /Е в области U не превосходит р.
Предложение 3. Число решений в области U системы g—0 голоморфных уравнений, посчитанных с учетом их кратностей, не превосходит С-размерности полиномиальной подалгебры отображения g в области U.
Предложение 3 доказано в п. 5.8. Для доказательства предложения 2 нам понадобится одно дополнение к подготовительной теореме Вейерштрасса. Пусть / — росток конечнократного отображения и ег, . . е^ — функции, задающие базис его локальной алгебры. Согласно подготовительной теореме для любого ростка голоморфной функции ср существует разложение Вейерштрасса:
? (*) = 2 (*) <Р* (У). У— І
Лемма 1. Существуют единые окрестности нулей U1 и U2 в пространствах образа и прообраза, на которых определены функции, фигурирующие в разложениях Вейерштрасса всех многочленов сразу.
Доказательство. В качестве области U1 возьмем область, в которую голоморфно продолжаются функции Cpi, участвующие в разложении следующего конечного набора функций:
1, Xjek (1 </<и, 1
В качестве области U2 возьмем подобласть области f~l(Uх), в которую голоморфно продолжаются функции ек. Проведем индукцию по степени многочлена. Всякий многочлен P степени р представим в виде
P= 2 С-1- deg Qj <Р.
Подставим в это представление разложения Вейерштрасса для Qj и воспользуемся разложениями Вейерштрасса функций Xjek и 1. Получим разложение леммы 1.
Рассмотрим деформацию {/J, є ? Cfc, ростка голоморфного отображения /: (С, 0)-^>Ся. Определим росток отображения F: (С X XCft, 0)CxCfc формулой F{x, в) = (/? (х), в).
Лемма 2. Локальные алгебры ростков / и F изоморфны. Если функции ег,..., е^ образуют базис в алгебре ростка /, то они образуют базис и в алгебре ростка F.
Доказательство. Идеал, порожденный компонентами F1, ¦ ¦ ¦, Fm S1, . . ., &к отображения F в алгебре ростков голоморфных функций в точке 0 ? С" XCfc, совпадает с идеалом, порожденным функциями /!,...,/„, S1, . . ., Si.
Пусть ev...,e—функции, ростки которых в точке 0 образуют базис локальной алгебры ростка /, и пусть {/Е}—деформация ростка f. g 5] локальная кратность голоморфного отображения 75
Лемма 3. Существует окрестность нуля U CZ С" такая, что для всех достаточно малых | є [ линейная оболочка образов, функций в алгебре Qf(U) содержит полиномиальную
подалгебру Qj \U~\.
Доказательство. Функции ev...,e образуют базис локальной алгебры отображения F (лемма 2).
Применим лемму 1 к отображению F. Согласно этой лемме существуют окрестность нуля UxV CZCliXCfc и шар В в пространстве образа Cn+fc такие, что: 1) F(UxV)ClB, 2) в области U X V каждый многочлен P представляется в виде
P (х) = 2 ф, (у, е) et (х), у = U (X). (*)
По лемме Адамара функции Ф,. в шаре В представим в виде
