Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
C1C1+. . .+^=^9%!+. . апд!дуп
(так как ai — это скорость изменения координаты у(). Все столбики вариаций образуют свободный модуль (Ах)п с п образующими Ci=^dldyi над алгеброй Ax.
В этих терминах мы можем переписать определение лево-правой инфинитезимальной устойчивости ростка / так: для всякого столбика а (Ase)" существует разложение
т
а =2 ^ (*)(і) У=1 3
(где h.?Ax, dfjdx J^(Ax)", Icr ^ Ay — «функции» от ylt . . ., уп).
Заметим, что первое слагаемое в этой формуле при изменении коэффициентов h пробегает А ^-подмодуль в (Ax)". Второе слагаемое при изменении к пробегает только линейное подпространство (или, если угодно, модуль над алгеброй функций от у, но не от х).
Определение. Росток отображения / называется инфини-тезимально V-устойчивым, если образы базисных векторов ег, ... . . ., еп порождают над R фактор-модуль
Т = (А*гКщ. fier) U = !>•••> "Ч h Г = U .... п).
Замечание. Происхождение этого определения следующее-Вариации ростка / под действием диффеоморфизмов прообраза
имеют вид ^ — hj (х). Они образуют в (Ax)" подмодуль, порож-з *
1* iou
ЬсЙОВЙЫЕ понйтйя
[М. і
денный т столбиками dfjdxj. Другой вид изменения /, не выводящий из класса F-эквивалентности, состоит в умножении слева вектора системы уравнений {/, = 0} на невырожденную при х = 0 матрицу-функцию С (матрицу порядка п с элементами из Aa.). Если матрица С (є) = E -f- ее -j- . .. близка к единичной, то система преобразуется в систему вида {/, = 0}, где / = /-)-ее/-(- . .. Следовательно, вариация / имеет вид с/, т. е. принадлежит подмодулю в (Ая)п, порожденному п2 столбиками fier (в таком столбике на г-м месте стоит /,., а на остальных местах — нули).
Таким образом, знаменатель формулы для T состоит из «тривиальных» вариаций: образующая dfjdxj отвечает сдвигам вдоль оси Xj, a f(er — прибавлению к r-му уравнению г-го.
Условие инфинитезимальной F-устойчивости означает, таким образом, что всякая вариация системы уравнений {/,= 0} может быть получена из тривиальной посредством инфинитезимального сдвига в пространстве-образе (такой сдвиг заменяет систему {/,=0} на {/, = «,}).
Теорема. Инфинитезималъная V-устойчивость ростка эквивалентна его инфинитезимальной устойчивости.
Доказательство. Пусть росток / инфинитезимально устойчив, т. е. существуют разложения (1). Его инфинитезималъная F-устойчивость очевидна. Действительно, выделим в kr свободные члены и запишем эти функции в виде
п
К (у) = Cr + 2 У ig г. г (у), Cr GR, gtirG А і=і 9
Подставляя разложения kr в (1), получим для каждого вектора вариации а разложение
т п Il Я
а=21:^+2 2Ugi''(/) +2 У=1 1 T= 1 <=1 Г=1
доказывающее инфинитезимальную F-устойчивость.
Доказательство обратного утверждения проводится совершенно такими же рассуждениями, как доказательство подготовительной теоремы (см. п. 4.4).
Пусть (ех, .... еп) порождают T над числами. Тогда для всякой вариации а из (Ax)" существует разложение
mm п
а = 2 с А + 2 ЙЛ- + 2 Sr. if Sr- (2)
J=I J=1 і, r=l
п
В частности, коэффициент при f. (т. е. столбик ier 6 (j^-J')
r-1 '
допускает разложение вида (2). Подставим все эти разложения § 6] устойчивость и инфинитезимальная устойчивость 101
в (2). Мы получим улучшенное разложение (2), которое можно переписать в виде
11 f п \ т п
r=l V i=l / j=1 ' », r, P=I
n
Разлагая коэффициент і, ge>- п0 формуле (2), мы продолжаем
r=i
улучшение и повышаем степень произведения компонент / в последнем слагаемом. После бесконечного числа шагов достигаем разложения
11 т
(3)
Г=1 J=I
доказывающего инфинитезимальную устойчивость на уровне формальных рядов.
Переход к (более содержательным) гладкому, аналитическому и голоморфному вариантам проводится так же, как для обычной подготовительной теоремы.
Замечание 1. Общая формулировка «подготовительной теоремы для модулей» такова: пусть /(O)=O и элементы ег, . . ., ея конечно-порожденного Ах-модуля F порождают линейное пространство Flf*myF-, тогда они же порождают F как модуль над А . В нашем случае F=(Ax)"/(df/dXj).
Замечание 2. Если росток отображения / гладко зависит от параметра t, меняющегося на отрезке [0, 1 ], и инфинитези-мально F-устойчив при каждом фиксированном t, то разложение (3) можно выбрать с гладко зависящими от t коэффициентами сг и hj (причем допускается даже гладкая зависимость а от t).
Доказательство — такое же, как для подготовительной теоремы с параметрами (пример 4 в п. 4.5).
Пример. Пусть отображение / — сборка Уитни, заданная формулами
/х-- X1X2, f2-
Проверим выполнение условия инфинитезимальной F-устойчивости (это легче, чем проверять инфинитезимальную устойчивость непосредственно). Модуль (Ах)п = (AJl образован столбиками вида
I^1 . Производные dfjdxj—это столбики 102
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
Столбики yter имеют вид
/я?-I-x1x8N / 0 N Z2J2N Z0N
Vo J' \xl + xixj' \0J' \xj-
Знаменатель формулы для T — это подмодуль в (Ax)2, натянутый на шесть выписанных столбиков.
Подмодуль, натянутый на пять из шести выписанных столбиков (исключая df/dx2), легко найти: он содержит
