Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
= If.*
5.15. Невырожденность билинейной формы. Символ [h/f]a зависит лишь от образа h в алгебре Qfta (предложение 2 п. 5.14) и определяет, следовательно, линейную функцию на алгебре Qft 0. В этом пункте мы рассмотрим билинейную форму Б на локальной алгебре конечнократного ростка, построенную по этой линейной функции.
Предложение 1. При распадении конечнократного корня с невырожденной билинейной формой образуются лишь корни с невырожденными формами.
Доказательство. Пусть / — конечнократный росток в точке а и L—С-линейное пространство, натянутое на функции ех, ... . . ., е , ростки которых образуют базис в локальной алгебре ростка /. Пусть {/J — деформация ростка / и U — достаточно малая окрестность точки а. Естественная проекция тс: L —> Afs (U) пространства L в мультилокальную алгебру системы /Е = 0 при малых є является изоморфизмом (теорема п. 5.10). Рассмотрим билинейную форму Be на L, определенную формулой
Be(g, h) = %[g ¦ hJfU,
где суммирование ведется по всем корням системы /( = 0 в области U. Эта форма — прямая сумма билинейных форм корней а{. Матрица As = (Б (е0 бу)} формы Б® аналитически зависит от е согласно следствию 3 (п. 5.13). По условию билинейная форма ростка/ невырождена, т. е. det^l0 =?= 0. Следовательно, для малых |е| deb Ae ^=0. Для таких е невырождены билинейные формы всех корней.
Предложение 2. Билинейная форма ростка отображения Фама невырождена.
Доказательство получается из следующих вычислений. Локальная алгебра отображения Фама Фт порождена мономами Xk = х^ ¦ ... ... - xf», 0 Jc1 W1, .... 0 Моном хг, где г =^m1 —
— 1, . . ., тп—1, пропорционален якобиану отображения Фама. Для этого монома [хг(Фт] = 1. Для остальных образующих хк локальной алгебры [хк/Фт] — 0. Это вытекает из формулы Эйлера—Якоби. g 5] локальная кратность голоморфного отображения 85
Билинейная форма ростка отображения Фама невырождена: двойственным к базису хк в Qq,т является базис хг~к.
Предложение 3. Билинейная форма всякого конечно-кратного ростка невырождена.
Доказательство. У А -эквивалентных ростков билинейные формы вырождены или невырождены одновременно (это следует из предложения 1 п. 5.14). Каждый конечнократный росток с точностью до А -эквивалентности получается малой деформацией ростка отображения Фама (п. 5.6). Билинейная форма ростка отображения Фама невырождена. Предложение 3 вытекает теперь из предложения 1.
5.16. Теорема о следе. Рассмотрим отображение / комплексных многообразий одинаковой размерности, при котором каждая точка имеет конечное число прообразов. Пусть ш — А-форма в многообразии-прообразе.
Определение. Следом А-формы ш при отображении / называется /с-форма в многообразии-образе, значение которой на каждом А-векторе равно сумме значений формы ш на всех прообразах этого А-вектора. Эта форма определена для регулярных значений отображения /. Она обозначается Tr со.
Теорема (Абель). Пусть f (х)=хр и <u=g dx, где g — голоморфная в 0 функция. Тогда форма Tr ш, определенная в проколотой окрестности 0, продолжается голоморфно в точку 0.
Доказательство. Tr ш = <pdt/, где ср (у) = ^ g (у1Ip) yWp)-i.
Разложим ср в ряд по степеням yi!p. Коэффициенты нри нецелых степенях у равны 0, так как ср однозначна. Целых отрицательных степеней у в разложении нет, так как все члены разложения имеют степень не меньше (1 Ip) — 1.
Следствие 1. Пусть f — одномерное разветвленное д-листное накрытие. Тогда след голоморфной в пространстве-прообразе формы продолжается голоморфно до формы в пространстве-образе.
Для формулировки теоремы о следе в многомерном случае введем следующее
Определение. Отображение / комплексных многообразий одинаковой размерности имеет конечный тип, если сумма кратнос-стей всех прообразов каждой точки имеет постоянное конечное значение. Это значение р называется числом листов проекции /: M —> iV накрытия конечного типа M над N.
Предложение. Отображение конечного типа собственно.
Доказательство. Точка у имеет fj. прообразов (с учетом кратностей). Всякая достаточно близкая к у точка имеет и. прообразов (с учетом кратностей), близких к прообразам точки у. Следовательно, других прообразов нет, и, значит, отображение собственно. 86
основные понятия
[ГЛ, I
Следствие 2. Множество регулярных значений отображения конечного типа открыто и всюду плотно.
Теорема. След голоморфной формы при отображении конечного типа голоморфно продолжается на все многообразие-образ.
Доказательство можно получить из теоремы Абеля следующими рассуждениями.
Iе. Для отображения f(xlt . . ., xn) = (xf, х2, . .., х„) теорема доказывается, как теорема Абеля.
2°. Назовем точку многообразия-прообраза хорошей, если существуют системы координат в ее окрестности и в окрестности ее образа, в которых отображение записывается формулой 1°.
Точка многообразия-образа называется хорошей, если все ее прообразы хорошие.
В окрестности хорошей точки в образе теорема следует из 1Э.
3°. Множество плохих точек в прообразе имеет коразмерность больше 1. Для доказательства нужно рассмотреть в прообразе следующие три множества:
