Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство: det A = | det А |2 (формула получается прямым вычислением в базисе, в котором матрица А имеет треугольный вид).
[Другое доказательство: 1°. Множество невырожденных линейных операторов А : С" С" связно. Для доказательства достаточно соединить две невырожденные матрицы комплексной прямой; она пересечет множество вырожденных матриц не более чем в п точках. 2°. Соединим невырожденный комплексный оператор с 1 путем, состоящим из невырожденных комплексных операторов. Овеществления этих операторов невырождены (так как g 5] локальная кратность голоморфного отображения
71
невырожденность означает взаимную однозначность). Следовательно, определители всех этих овеществлений положительны.]
Следствие. А-эквивалеюпные голоморфные ростки имеют одинаковые индексы.
Доказательство. Овеществления голоморфных А-эквивалентных ростков вещественно ^.-эквивалентны. Действительно, если g = Af, то овеществление g = Af и det^(0)j>0.
Пусть В — замкнутый шар с центром в точке а ? С". Пусть голоморфное отображение / не обращается в нуль в 5\ч а.
Предложение 2. Индекс в точке а ростка голомофного отображения f равен числу прообразов в шаре В любого достаточно близкого к нулю регулярного значения є.
Доказательство. Индекс равен числу прообразов значения 8, посчитанных с учетом знака якобиана отображения / (см. п. 5.2). Этот знак согласно лемме всегда положителен.
Замечание. Рассмотрим голоморфное отображение 2га-мер-ной компактной области в С", не имеющее нулей на краю области. Тогда степень отображения // || / || края в Sf'1 неотрицательна, ибо эта степень равна числу прообразов значения е.
Предложение 3. Пусть отображение g не имеет нулей на краю ограниченной области U Cl С" и степень отображения gl II g Il края области U в единичную сферу равна к. Тогда система g=0 имеет конечное число корней в области U и сумма их индексов равна к.
Предложение 3 вытекает из следующей леммы.
Лемма. В условиях предложения 3 число геометрически различных решений системы g=0 в области U не превосходит к.
Доказательство. Предположим, что найдется &-|-1 корень системы O1, . . ., ак+1.
1°. Существует полиномиальное отображение P: Cn-* С", для которого точки AS1,..., afc+1 — невырожденные корни.
2°. Отображение ge = g-{- еР имеет невырожденные корни в точках Qi1, . - ., ак+1 для почти всех значений е.
3°. При малых |е| индекс отображения gj\ ge || края области U равен к.
4°. Выберем малое є, при котором корни аі отображения g невырождены. Окружим корни а{ малыми шарами Bi, не содержащими других нулей отображения ge. Степень отображения »Л ge I] сферы дВі в S^tI-I равна 1, и, следовательно, степень отображения U^i в Sf-1 равна/с+1.
Рассмотрим область U' — U\[JBi. Степень отображения края этой области неотрицательна (см. замечание); с другой стороны, эта степень равна к — (?+1) = -1. Противоречие.
Следствие 1. Индекс корня строго положителен.
Для доказательства надо применить лемму к шару, содержащему единственный корень системы. 72
основные понятия
[ГЛ. I
Следствие 2. При распадении изолированного корня образуется конечное число корней, и сумма их индексов равна индексу распавшегося корня.
Следствие В. В условиях предложения 3 индекс каждого корня не превосходит к.
5.5. Кратность и А -эквивалентность.
Предложение 1. Кратности А-эквивалентных ростков равны.
Действительно, идеалы If и Ig ^-эквивалентных ростков / и g совпадают.
Предложение 2. Пусть росток f имеет кратность и. и росток g отличается от ростка f малыми порядка Тогда
ростки g и / А-эквивалентны.
Следствие. Пусть матрица Якоби ростка f в точке О невырождена. Тогда его кратность равна 1.
Действительно, для линейного / это очевидно, а нелинейное отличается от линейного малыми второго порядка.
Предложение 3. Конечнократный корень системы голоморфных уравнений изолирован.
Для доказательства предложений 2 и 3 нам понадобится
Лемма. Пусть росток f имеет кратность [х. Тогда произведение любых fj. ростков функций, обращающихся в 0 в точке О, содержится в идеале If.
Доказательство леммы. Для произведения cPi ••••• cPpi построим [а + 1 росток 1, срх, Cp1Cp2, . . ., Cp1 ¦ ... -Cpii. Эти ростки линейно зависимы в кольце Qf, т. е. существует нетривиальная линейная комбинация
C0 + + • • • + CilCp1 - . . . . Cpii ? If. Пусть сг — первый отличный от нуля коэффициент;, тогда Tl • • • • • fr (Cr H- Cr+l4V-U + • • • + C,,?r+L ¦ ¦¦¦ ¦ tPp.) 6 If
Множитель, стоящий в скобках, обратим в кольце С {х}, поскольку сг=^= 0. Следовательно, Cp1 ..... срг, а значит, и Cp1 • .... ср принадлежат идеалу If.
Доказательство предложения 2. Всякий росток 6 функции порядка [Д. —j— 1 можно представить в виде -Jj=^Ai/., где h. (0) = 0 (пользуясь леммой). Разложив таким образом все компоненты ср = g— /, получаем ср = H/, где матрица П (0) = 0. Следовательно, g = (E-\-H)f, что и доказывает Л-эквивалент-ность ростков fug.
Доказательство предложения 3. Пусть росток / имеет кратность и. в точке 0. Росток х^. представим в виде Xb = ^J1 j,if і- Область, в которую голоморфно продолжаются g 5] локальная кратность голоморфного отображения 73
