Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 1. Пусть —корни системы /= є в шаре В. При стремлении регулярного значения г к нулю функция
<p(e) = SA (*,)//(«,)
имеет предел.
6 в. и. Арнольд н др. І50
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
" [ГЛ. I
Определение. Символом [h//]л называется предел из следствия 1.
Пусть {/t} — деформация отображения / и — деформация функции h.
Следствие 2. Пусть є стремится к нулю таким образом, что все корни аі системы Д — 0 в шаре В остаются невырожденными. Тогда
Iim ?й (a,.)/det Щдх) (at) = [А//]а.
Доказательство получается применением следствия 1 к отображению F : С" X С* С" X Cfc и функции Я, определенным формулами F(x, e)=z(ft(x), в) и H (х, e) = he(x).
Возвратимся к ситуации теоремы об обратном якобиане.
Следствие 3. Функция ср (у)=21?//Li аполитична в V. Здесь суммирование производится по множеству всех корней системы f — 2/=0 в области U.
Доказательство. ! Возьмем близкоеТк ^"регулярное значение отображения. Прообразы этого значения распадаются на группы, расположенные вблизи корней а,-. Устремим регулярное значение к у. Переходя к пределу в каждой группе, получим, что голоморфная функция из теоремы есть 2 [A//L,..
Из теоремы об обратном якобиане вытекает формула Эйлера— Якоби. Пусть / — полиномиальное отображение С в С", компонента /,. которого — полином степени Tni. Пусть /0: С" -> С" — полиномиальное отображение, компоненты которого—старшие однородные составляющие компонент /. Пусть все корни а( системы /=0 в С" некратны, и пусть система /0=0 имеет единственный корень — точку 0.
Следствие 4 (формула Эйлера—Якоби). Для всякого многочлена h степени меньшей, чем степень якобиана J (deg h
TO1+. . .-\-тп — п), справедливо тождество
2ft (Ui)IJ (af) = 0.
Доказательство. Рассмотрим С" как координатную плоскость хпф1 = 0в Ся+1. Пусть /, и h — такие однородные многочлены в Св+\ что Ji (х, i) — f{(x), Я(х, 1 ) = h(x) и deg f. — deg ft, deg h = deg h. Рассмотрим отображение P : (C+1, 0) (Cft1"1, 0) с компонентами Pi = Ji при г = 1, . .., п и Ри+1 = хп+х. Точка 0 (J C+1 — единственный корень системы Р = 0. Корни системы P = (О, s) (где (0, є) ? Cn X С1) — точки вида bi = (а{є, є), где а( — корень системы f = 0. В каждом корне Ь( справедливо равенство Я (bildet (дР/дх) (b{) = sph (а,)// (а,.), где p~degh — g 5] локальная кратность голоморфного отображения
83
— (Wi1+ . . . +вія— п) (?— координаты X1, . .., хп+1 в C+1). Суммируя по всем корням, получим
2Л (6,Vdet (дР/дх) (Ь,.) - B^h (Cii)JJ К).
Согласно следствию 1 левая сумма должна иметь конечный предел при є -?- 0. При р<^0 это возможно, лишь если ^h (a{)/J (af) = = 0.
Замечание 1. Формула Эйлера—Якоби останется справедливой, если вместо полиномов h и / с фиксированными степенями рассматривать полиномы с фиксированными квазистепенями. Другие обобщения формулы Эйлера—Якоби можно найти в [128], [86].
Замечание 2. Формула Эйлера—Якоби частично объясняет существование предела в следствии 1. Пусть отображение / полиномиально и h — полином, причем deg h deg J. Пусть система /=0 имеет ровно один кратный корень 0 и несколько некратных корней. Предположим еще, что у этой системы нет «бесконечно удаленных корней». Тогда при стремлении регулярного значения s к нулю часть корней будет стремиться к точке 0, а остальные — к некратным корням bi. В этом случае из формулы Эйлера— Якоби вытекает, что предел из следствия 1 существует и равен
-2* IbiVJ (&,-).
Замечание 3. Формула Эйлера—Якоби применяется в вещественной алгебраической геометрии (см. [73], [87]).
5.14. Свойства символа [hjf]a.
Предложение 1. Пусть ростки ga и fa А-эквивалентны, g(.) = A(.)f(.). Тогда
[hma=.[h-UBiAjg)a.
Доказательство. Рассмотрим деформацию / — є ростка / и деформацию gs=A(f — е) ростка g. В малом шаре они имеют одинаковые нули ai. В каждом нуле а. выполняется равенство (dgJdx) (а{) = А (а{) (df/dx) (а.). Поэтому
2ft (a,.)/det (dfjdx) (а{) = ]?ft (af) det A (af)/det (dgJdx) (a.).
Устремляя регулярное значение e к нулю, получим нужное равенство.
Предложение 2. Если то [h[f]a=0.
1". Предположим дополнительно, что дифференциалы dfk всех компонент fk не имеют нулей в проколотой окрестности точки а. Пусть h ==^gkfk. Покажем, что для каждого к символ [gjjf]a.= = 0. Гиперповерхность fk = 0 не имеет особенностей в проколотой окрестности точки а (по предположению). Корни at системы f j = s.j при Sfc=O расположены на гиперповерхности /& = 0. Для общих s (при условии efc = 0) все корни неособы и каждый член
6* І50
основные понятия
" [гл. i
суммы 2 (Skfk) (ai)IJ (ai) равен нулю. Переходя к пределу, получим нужное равенство.
2°. Каждый конечнократный росток g Л-эквивалентен ростку /, для которого выполнено дополнительное предположение из 1°. Для доказательства достаточно положить fi = g.~J- (х^ -j- . . . . . . -j- X%), где gi — многочлен Тейлора компоненты gf степени N — 1 (см. 1° леммы п. 5.9) и N достаточно велико (Af > fie[g]) (см. предложение 2 п. 5.5).
3°. Пусть g = Af, f удовлетворяет предположению 1° и Ag 610, а- Тогда [hjg]a = [h ¦ det A/f]a = 0, так как h ¦ det А?1д>а =
