Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
5.18. Доказательство теоремы об обратном якобиане. Рассмотрим область /_1(У) = М и ее отображение / \м : Л/ F. Оно § 6] устойчивость и инфинитезимальная устойчивость 89
имеет конечный тип. Рассмотрим «-форму w = h dx1 Д . . . Д <3ж„. На открытом плотном в У множестве регулярных значений отображения [Тгш (а<)//(а»)> по теореме о следе функция [Тг ш] голоморфна в У. Теорема доказана.
Следствие.
ГА/Л—-J— t Hdx1A-.- /\ dxn WJ-(2*1)" J /і • • • • • /и •
IZiI=Si
Доказательство. [A//] = lim[Trш(г/)] = [Trш](0), поэтому следствие вытекает из интегрального представления следа.
§ 6. Устойчивость и инфинитезимальная устойчивость
В этом параграфе описан метод линеаризации для решения вопроса об устойчивости ростка дифференцируемого отображения. Этот метод заключается в сведении вопроса к линейной задаче об инфинитезимальной устойчивости и к практически легче-решаемой линейной задаче об инфинитезимальной У-устойчивости. Мы развиваем технику, необходимую для обоснования метода, и применяем ее в наиболее простой ситуации, доказывая теорему об эквивалентности функции своему многочлену Тейлора в окрестности конечнократной критической точки.
6.1. Понятие инфинитезимальной устойчивости. Отображение /: M N называется устойчивым, если орбита элемента / . под действием группы лево-правых диффеоморфизмов в пространстве Q (М, N) гладких отображений MbN содержит некоторую окрестность элемента / (ср. § 1, стр. 10).
Пусть X — многообразие и G — группа Ли, действующая на X. Точка / из X называется устойчивой относительно этого действия, если ее орбита содержит некоторую окрестность этой точки /. Действие G на X задает гладкое отображение конечномерных многообразий a: G X X X (пара g, х переходит в образ х под действием g). Рассмотрим производную а по первому аргументу в точке (е, /), где е — единица группы:
*Л. J--Tfi^TfX.
Если этот линейный оператор отображает касательное пространство к группе в единице на все касательное пространство к многообразию, на котором действует группа, в рассматриваемой точке /, то, по теореме о неявной функции, орбита точки f содержит окрестность точки f.
Определение. Точка / называется инфинитезимально устойчивой относительно действия а, если производная действия вдоль группы в точке (е, /) отображает касательное пространство к группе на все касательное пространство к многообразию в точке /, т. е. если \,t'f — отображение «на», 90
основные понятия
[гл. I
Попытаемся перенести это определение на интересующий нас случай действия бесконечномерной группы левых и правых диффеоморфизмов на бесконечномерном пространстве гладких отображений Q (M, N).
Касательное пространство к группе Diff M диффеоморфизмов гладкого многообразия M в единице — это линейное пространство всех гладких векторных полей на M. Оно обозначается через Г (TM) (пространство сечений касательного расслоения TM многообразия М). Лево-правый инфинитезималь-ный диффеоморфизм задается нарой векторных полей (одно на М, другое на N). Поэтому
Tt (Diff M X Diff N) = Г (TM) Є Г (TN).
Касательное пространство к «многообразию» Q (М, N) всех гладких отображений из M в N в точке / из Q (М, N) естественно отождествляется с пространством «инфинитезимальиых деформаций» отображения /, т. е. с пространством сечений вертикального векторного расслоения f*TN отображения / (рис. 39):
Te 2 (М, N) = ? [f TN)
(элемент Г (f*TN) — это сечение вертикального расслоения, которое указывает, с какой скоростью меняется значение отображения / в каждой точке х из М). Вычислим линейный оператор
Te (Diff M X Diff N)-* Г (f*TN),
соответствующий лево-правому действию, /1-*- К of о Я-1 (К GDiffJV, Я Є DiffM).
Вычисления удобно провести в (локальных) координатах. Отображение / записывается в виде г/=/ (х). Однопараметрические семейства диффеоморфизмов H и К, близкие к тождеству, записываются в виде
Ht(x) = x + sh(x) + ..„ Ks(y) = y+Zk(y)+...
(точками обозначены члены выше первой степени по є). Вычисляя fe = Keofoff~l, мы находим
/. И=Hx - sKx)) + *4f(x)) +...=/ + « [k(f(x))~g h (S)]+...
Выражение в квадратной скобке и есть значение вычисляемого оператора на паре (h, к).
/v
S*7W
і
У"
л/
Рис. 39. § 6] устойчивость и инфинитезимальная устойчивость 98
Ответ можно переписать в виде
(А, к) a [A] -L ш [ft],
где
а : YTM —Г (f*TN) определено соотношением а [А] (ж) = —f^h (ж), ш: YTN -> Г (f*TN) определено соотношением о> [ft] (х) = k(f (ж)).
Отображения а и о) — геометрические, они не зависят ни от каких координат (рис. 40).
Определение. Отображение / называется инфинитпе-зималъно устойчивым, если
а (Г TM) -f ш (YTN) = Г (f*TN).
В координатах это условие означает разрешимость относительно Anft так называемого «гомологического уравнения»
а(х) = ~й А (*)+ A(/(s)) (1)
для всякого поля деформаций и, т. е. для всякого элемента из T(f* TN).
Теорема устойчивости (Мазер). Инфинитези-малъно устойчивое отображение устойчиво.
Эта теорема справедлива для отображений компактных многообразий M и N\ в некомпактном случае она справедлива при условии, что устойчивость понимается в смысле тонкой топологии Уитни (см. стр. 33). Справедлива также и обратная теорема: устойчивое отображение инфинитезимально устойчиво. Доказательства всех этих результатов можно найти в работах Мазера [152].
