Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
a (t, х) = 2 C1t (ft (х), t) ек (яг)
с гладкими на всем отрезке 0 ^ t ^ 1 коэффициентами ск.
Доказательство получается из аналогичного локального утверждения примера 2 при помощи разбиения единицы. Действительно, согласно примеру 2, у каждой точки т ? [0, 1] существует окрестность Д, в которой локальное разложение существует. Выберем из окрестностей Д конечное покрытие (Д,}. Пусть Xi (t) — гладкие на отрезке [0, 1 ] функции, в сумме равные единице, такие, что Xi отлично от 0 только на Ai.
Пусть локальное разложение а на Д,- имеет вид
а (іі, х) = ^ ск<і (ft (х), t) ек (х), t?A{.
Произведение XicIc, і доопределим нулем вне Ai. Тогда функции
ск (У, *)=2хЛ*)е*.*(У»0 і
определяют искомое разложение на всем отрезке [0, 11.
5 В. И. Арнольд и др. 66
основные понятия
[ГЛ. I
Замечание. Вернемся к разложению общей подготовительной теоремы:
а (х) = C1 (/ (х)) ег (х) + ... + Cpi (/ (х)) е^ (ж).
Было бы полезно иметь линейный оператор, сопоставляющий функции а (х) набор функций ск (у), и знать его дифференциальные свойства. Например, пусть / (х)=х2 и ^1=I, е2—х. Тогда для любой функции а коэффициенты ch (/ (х)) легко оцениваются через первую производную от а. Можно показать (см. [2]), что, вообще, в голоморфной ситуации оператор, переводяїций а (х) в cA (/ (х)), не хуже, «чем дифференциальный оператор конечного порядка»:
I Ск (/ И) || * |<г < const' S* I а (*) I,* i<r-s-
К сожалению, аналогичная оценка ухудшения свойств функции при переходе от а к с для гладкого случая не доказана. Такая оценка позволила бы получить прямое доказательство теоремы об устойчивости инфинитезимально устойчивых ростков типа доказательства теоремы о неявной функции (ср. [3]).
§ 5. Локальная кратность голоморфного отображения
В этом параграфе доказывается совпадение алгебраической кратности голоморфного отображения с геометрической кратностью (с индексом особой точки соответствующего голоморфного векторного поля). Хотя результат был известен еще классикам, подробное доказательство было опубликовано, по-видимому, лишь в статье В. П. Паломодова [72]. Идея изложенного ниже элементарного доказательства принадлежит А. Г. Кушниренко [62].
Индекс особой точки вещественного векторного поля может быть вычислен как сигнатура подходящей квадратичной формы на локальной алгебре особенности (формула Левина—Эйзенбуда— Химшиашвили [83], [116]). Мы доказываем эту формулу, основанную на невырожденности квадратичных форм на локальных алгебрах (двойственность Гротендика), при помощи многомерного обобщения теоремы Абеля о следе голоморфной формы.
5.1. Кратность. Пусть/: (С", а) -> (С", 0) — росток голоморфного отображения в точке а. Рассмотрим алгебру С {х}а всех ростков голоморфных функций в точке а. Ростки компонент отображения / порождают идеал If a в этой алгебре.
Определение. Кратностью ростка f в точке а называется размерность его локальной алгебры
M/] = dime Qfia; Q/>a = C [x}JIf,a.
Росток называется конечнократным, если его кратность конечна. § 5] локальная кратность голоморфного отображения
67
Пример. 1. Если / — невырожденный линейный оператор, то кратность точки 0 равна 1.
Пример 2. Пусть Z1 = X1Xf, = х\ -f- Сопоставим моному дЛ.-ф точку (кг, к2) целочисленной решетки (рис. 37, а). Отметим мономы, принадлежащие идеалу /=(Z1) Z2). Вместе с X1X* в него
PTrY №
щ %
ТУл Ш Щ ъ
т т %
п І ш
\
N
а)
входят все мономы заштрихованного угла. Бином /2 изображается отрезком с концами (2, 0) и (0, 3). Сдвигая этот отрезок на' 1 вправо, убеждаемся, что х\ ? /, а сдвигая на 2 вверх, — что ?/. Таким образом, все мономы в области, заштрихованной на рис. 37, б, лежат в На рис. 37, в отмечены 7 мономов, определяющих <С-базис алгебры Qfi0. Итак, [а0[/] = 7.
Ell.
Ш
УЩ//Ш
ill
4
я/
О) Рис. 38.
Пример 3. Пусть Z1==Xf — X1X2, f2 = X1X3 — X31. Снова изобразим Z1 и Z2 отрезками (рис. 38, а). Вершины зигзагообразной ломаной на рис. 38, а отвечают мономам, сравнимым по модулю идеала /=(ZX, /а). Таким образом, X1Xf сравним с мономом сколь угодно высокой степени по модулю I. Нетрудно проверить, что х\х\ 61 (например, это видно из того, что X1Xl = X1-Xl-Xjmod/).
Поэтому все мономы из заштрихованной на рис. 38, б области лежат в идеале. Базис Qf o порожден обведенными на рис. 38, в пятью мономами, p- [f]—5.
5* 68
основные понятия
[гл. I
5.2. Индекс равен кратности.
Определение. Индексом inda[/J ростка отображения / в точке а называется степень отображения //|j / |: -» ^21"-1 достаточно малой сферы J ж — a J = є в пространстве-прообразе в единичную сферу в пространстве-образе.
Если существует окрестность точки а, в которой нет прообразов нуля, кроме, может быть, самой точки а, то индекс определен корректно (не зависит от выбора малой сферы Sf"-1). Индекс ростка в неизолированном нуле не определен. Кратностью и индексом корня а системы голоморфных уравнений Zi=. . . .. . = /я=0, определенных в окрестности точки а, называются кратность и индекс ростка отображения Z=Zn •••>/„ в точке а.
