Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
информация о топологии / не больше, чем вытекающая из возможности привести / к нормальной форме на уровне 2-струй:
/ = х|+...+®«+0( M8).
Приведения же на уровне /с-струй достаточно, по-видимому, уже для всех разумных приложений.
В дальнейшем мы доказываем подробно теоремы о приведении отображений к нормальным формам на уровне А-струй или на уровне формальных рядов (т. е. оо-струй). Доказательства сразу переносятся на гладкий, аналитический и голоморфный случаи, нужно только пользоваться соответствующим вариантом подготовительной теоремы.
Замечание. Беззаботное отношение к обоснованию перехода от формальных рядов к аналитическим и гладким объектам допустимо, когда результаты для всех случаев (формального, аналитического, голоморфного и гладкого) действительно параллельны. Однако встречаются задачи, в которых это не так (например, задачи с малыми знаменателями; ср. [3]). В таких задачах обоснование сходимости и исследование гладкого случая существенно, так как за расходимостью рядов скрывается качественное, топологическое различие между поведением гладкого или аналитического объекта и его нормальной формы на уровне струй (что и проявляется в задачах с малыми знаменателями в виде резонансных эффектов; ср. [17], гл. V).
В теории особенностей такая ситуация, видимо, не встречается (см., однако, пример Габриэлова [39] формального соотношения между аналитическими функциями, не допускающими аналитического соотношения и стр. 287).
4.5. Примеры и приложения.
Пример 1. Рассмотрим симметрические функции от m переменных. Из подготовительной теоремы вытекает, что все такие функции можно представить в виде функций от основных симметрических функций:
O1 = X1+ ...+Xm, ...,Om = хх... хт.
*) Действительно, то, что ек образуют базис алгебры, проверяется по конечной струе. 64
основные понятия
[гл. I
Действительно, рассмотрим «отображение Виета» R'" -> Rm (или Cm Cm), сопоставляющее точке с координатами (X1, . . ., хот) точку с координатами (о1? ...,<зт). Нетрудно проверить, что это отображение конечнократно, а именно а = т !; в качестве базиса можно взять, например, [і- одночленов ен = . . . х*»>, для которых 0 ka <[ s. По подготовительной теореме каждая функция представляется в виде Scft (а) ен. Для симметрической же функции, как нетрудно сообразить, все коэффициенты, кроме с0, равны нулю, что и требовалось.
Под словом «функция» можно здесь понимать формальный или сходящийся вещественный или комплексный ряд или росток бесконечно дифференцируемой функции в нуле. В действительности результат справедлив также и в целом (например, для бесконечно дифференцируемых функций во всем R", см работу Глезера [122], или для многочленов).
Пример 2. Часто встречается ситуация, когда разлагаемая по подготовительной теореме функция а дифференцируемо (аналитически, формально) зависит, кроме переменных х, еще от параметров t. В таком случае можно не только получить разложение при каждом значении параметров, но получить и разложение с дифференцируемо (аналитически, формально) зависящими от параметров коэффициентами:
а(х, f)=2e* (/(«), t)ek(x)
(речь идет о ростках функции от (х, t) в нуле или о формальных степенных рядах по х и t).
Для доказательства достаточно применить подготовительную теорему к отображению /, надстроенному тождественным преобразованием параметров, т. е. к отображению
(х, i) — (/(x), t).
Это отображение конечнократно, и систему образующих локальной алгебры образуют «те же самые» функции ек (х), что и для / (рассматриваемые, однако, теперь как элементы алгебры функций Axj от переменных XMt).
Более того, можно допустить также зависимость / от параметров, и можно заменить ек (х) любыми функциями Ek (х, t), обращающимися в ек (х) при t—0. Действительно, функции Ek (X, t) составляют систему образующих локальной алгебры отображения
(х, t)b*(F (х, t), t)
тогда и только тогда, когда функции ек (х)=Ек (х, 0) составляют систему образующих локальной алгебры отображения х ь> / (х) = —F {х, 0) (это вытекает из того, что F (х, t)—F (х, 0) и Ek (х, t)—Eh (х, 0) принадлежат идеалу, порожденному t в алгебре Ах/). локальная алгебра осоВенЙосЇЙ
65
Пример 3 («теорема деления»). Пусть
F (х, t) = ж11 + U1 (t) X4- ... 4- Bt (<), и, (0) = 0. Тогда каждая функция а (х, t) представила в виде
а(х, t) = g(x, t) F (х, ?)4- Hh(t)xr
г= 0
(g — частное, многочлен степени fj.—1 — остаток).
Доказательство. При <=0 функция F превращается в f=3?. Локальная алгебра отображения / порождается одночленами 1, х, .. ., Xv"1. Следовательно,
и—і
а(х, t)= 2 cr(F(x, t), t)xr. ґ=0
Представляя каждое cr в виде cr=gr (х,~ t) FjrHr (t), получаем искомое разложение.
Теорема деления справедлива в гладкой, формальной, аналитической и голоморфной ситуациях; голоморфный вариант теоремы деления принадлежит Вейерштрассу.
Пример 4 (подготовительная теорема с параметром). Предположим, что дан росток конечнократного отображения, гладко зависящий от параметра t, меняющегося на отрезке [0, 1 ], ft: (Rm, 0) -> (R", 0). Предположим, что функции ег (х), ... ..., е (х) из Ax порождают (после факторизации по идеалу Ijt) локальную алгебру Qft при каждом t. Тогда для всякой гладко зависящей от t функции а (?, х) существует разложение
