Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. В голоморфном случае конечномерность Qf над С эквивалентна изолированности точки 0 в полном прообразе нуля (т. е. в f'1 (0)). В вещественном аналитическом случае это уже не так: конечномерность Qf над R эквивалентна изолированности в комплексном полном прообразе. Бесконечно дифференцируемый пример особенности с бесконечномерной локальной алгеброй в точке, являющейся изолированной точкой полного прообраза нуля: /=ехр (—IIxz). ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОБЕННОСТИ
Bl
Определение. Число (j.—dim Qf (над R в вещественном и над € в комплексном случае) называется (алгебраической) локальной кратностью отображения / в нуле.
Отображение называется конечнократным, если jj. оо.
Задача. Докажите, что если т п, то конечнократных отображений (Rct, 0) -?- (R", 0) не существует.
4.4. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Начнем с примера. Рассмотрим локальную алгебру Qf отображения г/=х2. Это — алгебра срезанных многочленов степени меньше 2 от х:
C7=R [[*]]/(*»).
Как линейное пространство, эта алгебра двумерна, и ее элементы можно записывать в виде а0+ахх, т. е. в виде линейных комбинаций двух элементов, 1 и х, с числовыми коэффициентами.
Определение. Системой образующих конечномерной локальной алгебры Qf = -AJlf мы будем называть набор элементов (ev • ¦ ., е ) из алгебры функций Ax, который переходит в систему образующих линейного пространства Qf при факторизации по идеалу Ir
Пример. В качестве системы образующих алгебры срезанных многочленов от X степени меньше А; можно взять к одночленов 1, х, . . ., Xlt'1. Эти образующие независимы, т. е. составляют базис в пространстве Qf.
Задача. Доказать, что локальная алгебра Qf гладкого конечнократного отображения / всегда имеет базис, состоящий из одночленов.
В случае /=X2 локальная алгебра Qf состоит из срезанных многочленов ниже второй степени и базис образуют два одночлена, 1 и х. Заметим, что каждая функция а из Ax представима в виде комбинации базисных одночленов с четными коэффициентами:
а (х) = C1 (X2)-I+C2 (я2)-а;
(разложение на четную и нечетную составляющие). В формальном и аналитическом случаях это разложение даже однозначно определено (в бесконечно дифференцируемом случае коэффициенты определены однозначно лишь на положительной полуоси).
Подготовительная теорема Вейерштрасса представляет собой далекое обобщение приведенного разложения функции на четную-и нечетную части.
Теорема. Пусть y=f(x) — отображение конечной кратности и (е15 . . ., е^) — система образующих его локальной алгебры-Qf. Тогда для всякой функции а существует разложение
<х (х) = C1 (/ (X)) Єі(х)+...+с^ (/ (х)) (х), где Ck — функции от у. Основные понятия
(гл. і
Иными словами, для каждого элемента алгебры функций Ax существует разложение
где Ch — элементы алгебры функций Ay.
Доказательство. Докажем эту теорему в случае формальных степенных рядов. По определению системы образующих,
ддя любого а существует разложение р. »
а (х) = 2 скек (х) -J- 2 осг (х) fr (х), ск ? R (1)
fc=l r=l
(вторая сумма есть общий вид элемента идеала Zj,).
В частности, для каждого г можно разложить аг по формуле (1):
fb п
аг(*) = S Ck.rek (®) + 2 аг, s («) /, (*)•
A=1 S=I
Подставляя эти разложения в разложение (1), мы получаем улучшенное разложение
v- / я \ я я
а («) = 2 (+ S с*. Jr (*)) в* (х) + 2 2 «,., («) fr і*) f, («).
fc=l V r=i ) r—I S=1
Продолжая разлагать по формуле (1) коэффициенты ar , (х) и повторяя процедуру улучшения, мы будем на каждом шагу повышать степени произведения компонент / во втором слагаемом разложения и степени многочленов относительно компонент / в коэффициентах при ек. Заметим, что члены младших степеней в построенных на первых шагах многочленах, являющихся коэффициентами при ек, на следующих шагах уже не меняются.
После бесконечного числа шагов указанной процедуры второе слагаемое будет полностью уничтожено, а коэффициенты первого слагаемого станут формальными рядами относительно компонент /й, т. е. мы получим искомое разложение.
В случаях аналитических или голоморфных отображений теорема доказывается несколько более аккуратным проведением аналогичной процедуры, сопровождаемой контролем сходимости рядов (Серр, Гузель; см., например, [132], [3]). В случае бесконечно дифференцируемых отображений подготовительная теорема была доказана Мальгранжем. В этом случае доказательство значительно сложнее (см., например, [147], [148], [152]).
Основное значение подготовительной теоремы в исследовании особенностей состоит в том, что она позволяет обосновывать «отбрасывание хвостов», т. е. позволяет переносить различные ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОВЕНЙОСЇЙ
63
результаты о нормальных формах и т. н. с уровня конечных струй на уровень гладких отображений*).
Не следует, однако, переоценивать значения получающихся при этом теорем для приложений. Рассмотрим, например, особенность функции т, переменных в невырожденной точке минимума (где второй дифференциал положительно определен). Можно доказать, что существует замена переменных, приводящая / к нормальной форме 1=хf+. . Однако получаемая при этом
