Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Например, для диаграммы (2, . . ., 2, 1, . . ., 1) (р двоек и q единиц) в случае двух переменных (т— 2) ограничения таковы;
CC4 xJ Яг X,
ж,
яг.
Рис. 30. g 3] КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСОБЕННОСТИ 47
образ X1 принадлежит идеалу, натянутому на X1 и а образ
X2 — идеалу, натянутому на X1 и X2 (т. е. максимальному идеалу). Подробности доказательства см. в [153].
Из сформулированного предложения следует, что коразмерность стационарной группы стандартного идеала с символом Боардмана I равна сумме коразмерностей стандартных идеалов, соответствующих диаграммам Юнга, урезанным на уровнях X1, 3?,. . . Таким образом*
dim U=codim H=(? — J1) ц (/) + (I1 — у p. (Si) + (i2 — is) р (S2I) + . . .
(S — оператор, зачеркивающий первый элемент символа; урезанная диаграмма не меняется вдоль каждой ступеньки диаграммы Юнга, поэтому слагаемое p. (SrI) повторяется столько раз, какова длина соответствующей ступеньки, т. е. ir—Jrfl раз).
Соединяя эту формулу с приведенной выше формулой для коразмерности многообразия V всех fc-струй отображений, задающих стандартный идеал, мы и получаем окончательно формулу Боардмана
codim Sjr = codim V — codim U =
= (п _ i0 +11) (I) - (I1 - У р. (Si) - (? - г3) (S4) - ...
Замечание. Как видно, классы Боардмана тесно связаны со специальными выпуклыми многогранниками на диаграмме Ньютона (стандартными многогранниками). Рассмотрим выпуклый многогранник на диаграмме Ньютона, заданный системой линейных неоднородных целочисленных неравенств с неотрицательными коэффициентами X. Такой многогранник содержит нуль, если все неравенства имеют вид (X, р) <С или обращен выпуклостью к нулю, если все неравенства имеют вид (X, р) ^ ^X0. В первом (компактном) случае мы рассмотрим идеал, носителем которого является дополнение к многограннику, а во втором — сам (некомпактный) многогранник. В обоих случаях мы можем сопоставить многограннику класс отображений, а именно класс всех тех отображений, для которых, при подходящем выборе системы координат, идеал, порожденный компонентами отображения, содержится в построенном по многограннику идеале. Было бы интересно исследовать возникающие таким образом классы особенностей.
§ 3. Квадратичный дифференциал особенности
Ранг первого дифференциала fx приводит к классам особенностей Ei. Рассмотрение квадратичной части отображения дает более точную классификацию: мы сопоставляем каждой особенности инвариантно связанный с ней пучок квадратичных форм. iu
ОСНОВНЫЕ понятия
[ИІ, і
3.1. Определение квадратичного дифференциала. Второй дифференциал определен инвариантно лишь на ядре первого и лишь с точностью до образа первого. Поэтому квадратичным дифференциалом отображения /: Mm -> Nm в точке х ? Mm мы назовем квадратичное *) отображение линейных пространств
fxx- КетGokeT
где Ker fx с TM есть ядро первого дифференциала fx: TxM -» -*T/MN, a Goker jx = TfwNjjxTxM — его коядро.
tJ
-V гг
rAxytj ts im Zac
Рис. 31.
Отображение Jxx определим сначала с помощью локальных координат:
X: TxMm-* Mm, Y-. T/(x)Na-+N",
где
d d_
dt о
Z(O) = X, 7(0) = /(*), ?^(59 = 6,
Y (&) — %.
В этих координатах отображение / запишется в виде <р: TxM T/(X)N, где <р = Y~lof оХ.
Определение. Значение квадратичного дифференциала fxx на S ? Kex- fx есть
/„(S) = lim^/f,TxM?Cokevfx.
t^r о ' '
Лемма. Квадратичный дифференциал fxx не зависит от выбора локальных координат X, Y.
Доказательство ясно из формулы Тейлора (рис. 31):
*) Отображение линейных пространств а: А -»- В называется квадратичны.и, если существует симметричное билинейное отображение а': А +А -» -» В такое, что «= а'о Д, где Д —диагональное отображение Д: А -> -* А-ЬА .А (х)=(х, х). g 3] КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСОБЕННОСТИ
49
Если TjgKerZit = O(^)1 C = O (г2), то «р (!, + С) =
= + c)+l(g|oc, С)+ ... =
= ^+1(?^|0т. Д.
Одновременно доказано, что в локальной системе координат, в которой Tj1, . . ., Tjfc — координаты TjgKerZa., a Cp1, . . ., <рг — координаты в Goker fx, квадратичный дифференциал задается формулой
*
Пример. Для отображения примера E2-0 (§ 2, стр. 37) квадратичный дифференциал дается формулами fxx: (xs, Xi) і-*
h^ (Ж3 І Х4> XsXi)-
Замечание. Кубический дифференциал определять подобной конструкцией нельзя. Для определения инвариантных высших дифференциалов можно итерировать следующую конструкцию «внутренней производной» Портеуса.
3.2. Внутренняя производная. Рассмотрим два векторных расслоения с общей базой В, и пусть А — отображение расслоений. Внутренняя производная д отображения А в точке b базы В представляет собой линейный оператор
дА: TbB Нот (Ker^ |ь, Goker А |ь),
определяемый следующим образом.
В окрестности любой рассматриваемой точки базы расслоения являются прямыми произведениями, так что мы можем фиксировать системы координат в слоях. Отображение А задается тогда семейством линейных операторов Ax, которые все действуют из пространства типового слоя X первого расслоения в пространство типового слоя Y второго; параметр х принадлежит базе расслоения. Мы фиксируем также систему координат с центром Ъ на базе и считаем точку базы х вектором линейного пространства. Пусть ? — вектор из X. Разложение вектора Ах% в ряд Тейлора по х начинается с членов
