Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
2. Плоскость, пересекающая конус (в пучке есть две параболические формы) (пример: Ct1Xf -J- Ct2Xf).
3. Плоскость, касающаяся конуса (в пучке есть одна параболическая форма) (пример: X1X2.-J- Ct2X1X2).
4. Прямая внутри конуса (пример: ах (х\ -j- xf) -J- а3 • 0).
5. Прямая вне конуса (пример: I1X1X2 -J- а2 • 0).
6. Прямая, касающаяся конуса (пример: U1X1 -j- ot2 ¦ 0).
7. Точка (oLx- 0+ K2- 0).
Оказывается, расположение подпространства семейства является инвариантом особенности.
Обозначения. Пусть F (Rfc) — линейное пространство всех квадратичных форм от к переменных. Пусть
¦ H (с, к) == Horn (Rc, F (Rft))
— линейное пространство всех с-параметрических линейных семейств квадратичных форм от к переменных.
На пространстве И (с, к) естественно действует группа GL (с, R) X X GL (к, R) линейных преобразований Rc и Rfc по формуле
[(go X gk) L] (Іс) %k = L (g;%)
S0G Re, Sfc ? Rfc. GL (с, R), gk 6 GL (ft, R).
Пример. Пространство H (2,2) шестимерно и под действием GL (2, R)XGL(2, R) распадается на семь орбит, описанных в предыдущем примере. g 3] КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСОБЕННОСТИ
53
Вспомним теперь, что каждому ростку отображения /: M -»¦ N в точке X ? M мы сопоставили квадратичный дифференциал fxx, а ему — семейство квадратичных форм
то мы сопоставим семейству Lf элемент H (с, к). Изменение этих отождествлений линейных пространств сводится к действию группы GL (с, R)XGL(&, R) на H (с, к), описанному выше. Итак, доказана
Лемма. Описанной конструкцией ростку отображения /: M -» N в X инвариантно (относительно диффеоморфизмов MuN) сопоставляется орбита действия группы GL (с, R)XGL (k, R) в пространстве всех с-параметрических семейств квадратичных форм от к переменных H (с, к), где с = dim Coker fx, к = dim Ker fx.
3.6. Эллиптические и гиперболические особенности Ea. Из доказанной леммы вытекает
Следствие. Рассмотрим два отображения /±: R* -»¦ R*, заданные формулами
Их ростки в О не эквивалентны, т. е. не существует, ростков диффеоморфизмов h, k, h (O) = О, А:(0) = 0, для которых диаграмма
коммутативна.
Доказательство. В этом случае с—к = 2, и мы находимся в условиях разобранного выше примера. Семейство L± задается формулами
и определяет плоскость в пространстве (а, Ь, с). В случае /_ эта плоскость лежит вне конуса и, значит, /_ соответствует первая из семи орбит примера. В случае /+ эта плоскость пересекает конус H1 значитг /+ соответствует вторая из семи орбит примера. Эти ор-
Lf 6 Нот (С, F(К)), С" = Coker/ж, K = Kerfx. Если выбрать отождествления
С'^ Re, с = dim Coker fx, K^Rk, ? = dimKer?
R" -?- R" AІ
Rn R"
«І № ± 4) + Wi 1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
биты разные: значит, ростки /+ и /_ в 0 не эквивалентны, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Легко проверить, что /± имеют в 0 неустранимую особенность класса I2. Итак, классификация по классам Боардмана Sz неполна. Особенность /_ называется эллиптической особенностью класса S2, а особенность /+ — гиперболической (почему?).
Замечание 2. Легко проверить, что эллиптическое и гиперболическое отображения /_ и /+ в 0 различны не только в дифференцируемом, но и в топологическом смысле. Чтобы лучше понять их строение, можно рассматривать их как отображения плоскости
иг, \
и,
г,
о
х\ ± х\ —]— X1X3 —j— X2Xi, х%хі9
Рис. 34.
либо комплексное отображение z эквивалентный отображению
зависящие от параметров X1, •2. При X1=X2=O получается i-> Z2 (/_), либо «уголок» (/+),
X.
J= (см. рие. 34).
*2 I "'S 2
Уже из этого видно, что отображения /4 и /_ топологически неэквивалентны: образ /_ покрывает R4, а образ /+ нет.
При малых X1, X2 получается близкое отображение, устроенное либо (в случае (/_)) как на рис. 17 (стр. 20), либо (в случае (/+)) как указано на рис. 18 (стр. 20).
Замечание 3. В дальнейшем мы покажем, что ростки обоих отображений /± устойчивы; можно также доказать, что всякое отображение M1 —> Ni можно аппроксимировать отображением, росток которого в каждой точке эквивалентен одному из семи устойчивых ростков, заданных формулами
и-
S0: Уі = Xr, і = 1,
S1'0: Уі = х{, і=1, . . 3, і/4 = х
S1'1»0: Уі = Xi, і=1, • •> 3, у4 — X1X4 -j- ,
?1,1,1,0. Уі = Xi, 1=1, • * •> 3, t/4 = X1X4 -j- х2х|-j— х|,
?1,1,1,1,0. Уі = Xi, і=1, • • > 3, уі = X1X4 -{- Х2ж| -J- Х3Х4 -J- л.5
?2-,0. Уі = Xi, і <2, Uz = х| -j- х\ -j- X1X3 -}- х2х4, ї/4 = — XgX
?2,0. Уі = Xi, І <2, Уз г= Хъ -(- X1X3 -{- XaX4, у і — — X^X g 3] КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСОБЕННОСТИ 55
3.7. Неустранимость неустойчивых отображений. Укажем еще одно следствие доказанной леммы.
Теорема (Том [178]). Множество устойчивых отображений Mn' -*¦ N"2 не всюду плотно в пространстве гладких отображений Mnl-^Nn' при га> 3.
ii.fi Доказательство основано на следующем замечании, w. Лемма. Коразмерность любой орбиты GL (га, R)XGL (га, R) в пространстве п-параметрических семейств квадратичных форм от га переменных H (га, п) положительна при п ^ 3.
