Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказатель ство. Имеем, очевидно,
dim H (га, „) = »'(» +
dim GL (п, R)x GL (га, R) = 2га2.
Имеется одномерная подгруппа (скаляры), оставляющая на месте все точки Н. Поэтому коразмерность любой орбиты [не меньшег чем
"a("2+1) —(2га2—1)>1 при га> 3.
Лемма доказана.
Теперь рассмотрим отображение /: Mn3 -> N"2, имеющее в О траясверсальную особенность типа Ея. По формуле произведения корангов особенность Eli (/) имеет коразмерность п2 и всякое близкое отображение будет иметь в близкой точке особенность типа Е".
Рассмотрим квадратичный дифференциал Jxx в 0 и соответствующую ему орбиту в H (га, п). Так как эта орбита имеет коразмерность ^ 1, то в любой окрестности отображения Z есть отображения /, квадратичные дифференциалы которых в точке Е" (/) соответствуют другим орбитам (такие / легко построить, изменяя в Z лишь струю порядка 2).
Следовательно, росток любого отображения f: Mn2 Nn2 в точке OgE" (Z) неустойчив, что и доказывает теорему.
Замечание 1. В терминах рис. 35 мы доказали выше, что точка т=га = 9 принадлежит области неустойчивости (называемой также областью плохих размерностей Мазера).
Замечание 2. Можно сформулировать теорему, приведенную выше, как утверждение, что дифференцируемые особенности отображений M"2 -> N"2 при больших п имеют «модули» (т. е. непрерывно меняющиеся с отображением инварианты). Например, из приведенного доказательства видно, что при га ^ 3 имеется по крайней мере один модуль.
При достаточно больших га число модулей бесконечно, т. е. пространство неэквивалентных дифференцируемо особенностей бесконечномерно. Действительно, при достаточно больших га1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
существуют и неустранимы целые кривые (поверхности, . . .) в пространстве-прообразе, такие, что струи отображения в точках этих кривых (поверхностей, . . .) имеют модули. Более того, при достаточно больших п неустранима и такая ситуация, когда число этих модулей больше размерности соответствующего подмногообразия (кривой, поверхности, . . .). В таком случае набор
модулей задает отображение указанного подмногообразия пространства-прообраза в пространство значений модулей. Образ этого отображения — подмножество (кривая, поверхность, . . .) в пространстве значений модулей. Это подмножество инвариантно связано с исходным отображением. Итак, мы получаем в качестве инварианта дифференцируемого отображения целую кривую (поверхность, . . .). Можно сказать, что при больших п модули сами становятся функциональными. Было бы интересно сформулировать соответствующие теоремы об асимптотиках числа модулей в пространстве А-струй при любых к.
В случае отображений пространств произвольных размерностей Mm -> N" ситуация аналогична, только вместе с увеличением п надо увеличивать т так, чтобы идти внутрь области плохих размерностей Мазера, заштрихованной на рис. 35. Уолл доказал, что число модулей становится бесконечным сразу же за границей области плохих размерностей, т. е. как только имеющие модули струи появляются не в изолированных точках. Таким образом, внутри области плохих размерностей дифференцируемый тип отображения в точке не определяется никакой струей конечного порядка (для некоторых отображений, образующих открытое множество в пространстве всех отображений).
§ 4. Локальная алгебра особенности и подготовительная
теорема Вейерштрасса
Каждый геометрический объект может описываться двумя способами — в терминах точек многообразий и в терминах функций на них.
Там, где геометр говорит о многообразии, алгебраист предпочитает говорить об алгебре функций (имея в виду алгебру функций на этом многообразии). Подмногообразию отвечает идеалЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОБЕННОСТИ
57
(образованный функциями, обращающимися в нуль на этом подмногообразии). Алгебра функций на подмногообразии получается из алгебры функций на исходном многообразии факторизацией по этому идеал у. Точки многообразий — это минимальные его подмногообразия, им отвечают максимальные идеалы и т. д.
Алгебраический способ описания оказывается особенно удобным в случаях вырождений, когда геометрические объекты становятся микроскопическими и их непосредственное изучение затруднительно.
В частности, с каждой особенностью дифференцируемого отображения в точке связывается некоторая локальная алгебра — «алгебра функций на инфинитезималь-ном прообразе точки». Чтобы понять определение этой алгебры, начнем с простейшего примера.
4.1. Алгебра функций на слипшемся двоеточии. Рассмотрим отображение вещественной прямой на прямую, заданное формулой !/=X2 (рис. 36). Зафиксируем неособое значение у=є. Его прообраз состоит из двух точек. Рассмотрим алгебру всех функций на множестве, состоящем из этих двух точек. Эта R-алгебра (алгебра над полем R) представляет собой линейное функциональное пространство размерности 2 (так как функция определяется своими значениями в двух точках), снабженное операцией (поточечного) умножения функций. Мы обозначим алгебру функций на прообразах точки г через Qe.
В линейном пространстве алгебры Qs имеется естественный базис из 8-функций: