Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
4.2. Локальная алгебра отображения в точке. Пусть f: (R"*, 0) -> (RM, 0) — гладкое отображение, заданное в окрестности точки 0 из Rct, переводящее эту точку в точку 0 из R". Отображение / в координатах задается п функциями т переменных:
У1 ~ /l (xI' • • Хт)' • ¦ ¦> Уп'== fn(Xl' ¦ • Хт)'
Поскольку дальнейшее имеет несколько вариантов в зависимости от класса гладкости этих функций, мы введем унифицирующее обозначение Ax для «R-алгебры функции рассматриваемого класса» от х (А — от «алгебра»). Значения Ax могут быть, например, следующими:
Sx — алгебра ростков бесконечно дифференцируемых функций в 0;
Hx — алгебра сходящихся степенных рядов;
R [[ж]] — алгебра формальных степенных рядов; (в случае Hx радиус сходимости зависит от ряда; в обоих последних ситуациях следует иметь в виду также и комплексные варианты, т. е. алгебры голоморфных ростков и формальных рядов Cffa;]]).
Элементы Z1, . . ., f„ алгебры функций Ax порождают в Ax идеал. Этот идеал образован всеми линейными комбинациямиЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОВЕНЙОСЇЙ
59
hJi+> . -jThJn с коэффициентами hk из алгебры функций Ax. Мы будем обозначать идеал, порожденный Z1, . . ., fn, через
(А. • • /„>•
Определение. Локальной алгеброй отображения f в нуле называется фактор-алгебра алгебры функций по идеалу, порожденному компонентами отображения:
Qs = AJIr If =(/,,...,/„).
Пример. Пусть т=п~ 1 и / (ж)=:г2. Локальная алгебра этого отображения в нуле есть алгебра функций на слипшемся двоеточии, т. е. двумерная алгебра срезанных многочленов ниже второй степени, рассмотренная в п. 4.1.
Замечание 1. Алгебра Qf не зависит от использовавшихся систем локальных координат в прообразе и в образе. Точнее, переход к другим системам координат индуцирует переход всей точной последовательности R-алгебр 0 ->¦ If Ax Qf~> О в изоморфную.
Замечание 2. Алгебраисты называют алгебру локальной, если она имеет только один максимальный идеал (идеал, не содержащийся в большем идеале, отличном от всей рассматриваемой алгебры). Геометрически максимальные идеалы соответствуют минимальным подмногообразиям, т. е. точкам. Таким образом, локальность алгебры означает, что она «сосредоточена в одной точке».
Наши алгебры функций Ax и Qf локальны (единственный максимальный идеал состоит из функций, обращающихся в О в начале координат). Максимальный идеал обычно обозначается буквой т.
Замечание 3. Определение локальной алгебры Qf можно сформулировать в более инвариантных терминах следующим образом. Обозначим через Ay алгебру «функций рассматриваемого класса» в точке 0 пространства-образа (т. е. алгебру функций или рядов от ^1, ..., у„). Отображение / индуцирует гомоморфизм R-алгебр /*: Ay Ax, (/*<р) (х) = ф (/ (я)). Обозначим через ту максимальный идеал алгебры Ay (т. е. множество функций или рядов от у, равных 0 в точке у = 0). Образ идеала Jtty при отображении /* не будет, вообще говоря, идеалом в алгебре Ax. Построим идеал If = Ax-ftny; тогда Qf = AJIf.
Пример. Пусть Ax= R[[xjj, /(х) = х2. В этом случае
Ax = (а0 -J- Ci1X -[-...} (все формальные ряды);
Xtty = {Ьгу -}- Ь2(/2 -}-...} (формальные ряды без свободного члена);
fmy = {Ь^х2 -j- Ь2х4 -j- ...} (четные формальные ряды без свободного члена);
AJ*my = {а2х- -j- азх3 -f~ ¦ ¦ ¦} (формальные ряды без свободного и линейного членов);І50
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
" [ГЛ. I
Qf = {аа -f- CtiX) (алгебра срезанных многочленов степени меньше 2).
Задача 1. Проверить эквивалентность определения If, данного в замечании 3, координатному определению: If~ (Z1, • ¦ /„).
Задача 2. Пусть т = п = 1, f(x) = xk. Доказать, что Qf — алгебра срезанных многочленов степени меньше к, т. е. алгебра многочленов а0 -j- ахх -j- ¦ • ¦ -f- aIc-Ix"^ с умножением по правилу Xlt = 0. Размерность этой алгебры как R-линейного пространства равна к.
З а д а ч а 3. Пусть / — отображение Уитни Rfc-1 Rfc-1, заданное формулами JZ1 = х* H- X2Xk-2 -j- . .. -f- xk_xxv у2 = х2,..., у = хк^.
Доказать, что Qf —• алгебра срезанных многочленов степени меньше к.
Задача 4. Пусть /±: R4-^-R4 — эллиптическое и гиперболическое отображения класса Ha (стр. 37). Доказать, что обе соответствующие локальные R-алгебры Qf имеют R-размерность 4 и
яеизоморфны.
Замечание. В комплексном случае отображения /± эквивалентны, а соответствующие им С-алгебры имеют С-размерность 4 и изоморфны. Таким образом, неизоморфные R-алгебры Qf
вляются двумя «вещественными формами» одной и той же С-алгебры, которая является комплексификацией каждой из этих R-алгебр.
4.3. Кратность отображения в точке. Числа прообразов точки общего положения в комплексных вариантах приведенных выше задач 2—4 равны размерностям соответствующих локальных С-алгебр Qf над С (т. е. равны, соответственно, к, к, 4). Это не случайно.
Пусть дан росток голоморфного отображения /: (С", 0) -»
-ЧС",0).
Теорема. Число близких к нулю прообразов близкой к нулю точки общего положения при отображении / равно размерности локальной алгебры:
fj. = dime Qf.
Доказательство этой теоремы занимает следующий параграф; там дано и точное определение «числа близких к нулю прообразов».