Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 26

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 129 >> Следующая


4.2. Локальная алгебра отображения в точке. Пусть f: (R"*, 0) -> (RM, 0) — гладкое отображение, заданное в окрестности точки 0 из Rct, переводящее эту точку в точку 0 из R". Отображение / в координатах задается п функциями т переменных:

У1 ~ /l (xI' • • Хт)' • ¦ ¦> Уп'== fn(Xl' ¦ • Хт)'

Поскольку дальнейшее имеет несколько вариантов в зависимости от класса гладкости этих функций, мы введем унифицирующее обозначение Ax для «R-алгебры функции рассматриваемого класса» от х (А — от «алгебра»). Значения Ax могут быть, например, следующими:

Sx — алгебра ростков бесконечно дифференцируемых функций в 0;

Hx — алгебра сходящихся степенных рядов;

R [[ж]] — алгебра формальных степенных рядов; (в случае Hx радиус сходимости зависит от ряда; в обоих последних ситуациях следует иметь в виду также и комплексные варианты, т. е. алгебры голоморфных ростков и формальных рядов Cffa;]]).

Элементы Z1, . . ., f„ алгебры функций Ax порождают в Ax идеал. Этот идеал образован всеми линейными комбинациями ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОВЕНЙОСЇЙ

59

hJi+> . -jThJn с коэффициентами hk из алгебры функций Ax. Мы будем обозначать идеал, порожденный Z1, . . ., fn, через

(А. • • /„>•

Определение. Локальной алгеброй отображения f в нуле называется фактор-алгебра алгебры функций по идеалу, порожденному компонентами отображения:

Qs = AJIr If =(/,,...,/„).

Пример. Пусть т=п~ 1 и / (ж)=:г2. Локальная алгебра этого отображения в нуле есть алгебра функций на слипшемся двоеточии, т. е. двумерная алгебра срезанных многочленов ниже второй степени, рассмотренная в п. 4.1.

Замечание 1. Алгебра Qf не зависит от использовавшихся систем локальных координат в прообразе и в образе. Точнее, переход к другим системам координат индуцирует переход всей точной последовательности R-алгебр 0 ->¦ If Ax Qf~> О в изоморфную.

Замечание 2. Алгебраисты называют алгебру локальной, если она имеет только один максимальный идеал (идеал, не содержащийся в большем идеале, отличном от всей рассматриваемой алгебры). Геометрически максимальные идеалы соответствуют минимальным подмногообразиям, т. е. точкам. Таким образом, локальность алгебры означает, что она «сосредоточена в одной точке».

Наши алгебры функций Ax и Qf локальны (единственный максимальный идеал состоит из функций, обращающихся в О в начале координат). Максимальный идеал обычно обозначается буквой т.

Замечание 3. Определение локальной алгебры Qf можно сформулировать в более инвариантных терминах следующим образом. Обозначим через Ay алгебру «функций рассматриваемого класса» в точке 0 пространства-образа (т. е. алгебру функций или рядов от ^1, ..., у„). Отображение / индуцирует гомоморфизм R-алгебр /*: Ay Ax, (/*<р) (х) = ф (/ (я)). Обозначим через ту максимальный идеал алгебры Ay (т. е. множество функций или рядов от у, равных 0 в точке у = 0). Образ идеала Jtty при отображении /* не будет, вообще говоря, идеалом в алгебре Ax. Построим идеал If = Ax-ftny; тогда Qf = AJIf.

Пример. Пусть Ax= R[[xjj, /(х) = х2. В этом случае

Ax = (а0 -J- Ci1X -[-...} (все формальные ряды);

Xtty = {Ьгу -}- Ь2(/2 -}-...} (формальные ряды без свободного члена);

fmy = {Ь^х2 -j- Ь2х4 -j- ...} (четные формальные ряды без свободного члена);

AJ*my = {а2х- -j- азх3 -f~ ¦ ¦ ¦} (формальные ряды без свободного и линейного членов); І50

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

" [ГЛ. I

Qf = {аа -f- CtiX) (алгебра срезанных многочленов степени меньше 2).

Задача 1. Проверить эквивалентность определения If, данного в замечании 3, координатному определению: If~ (Z1, • ¦ /„).

Задача 2. Пусть т = п = 1, f(x) = xk. Доказать, что Qf — алгебра срезанных многочленов степени меньше к, т. е. алгебра многочленов а0 -j- ахх -j- ¦ • ¦ -f- aIc-Ix"^ с умножением по правилу Xlt = 0. Размерность этой алгебры как R-линейного пространства равна к.

З а д а ч а 3. Пусть / — отображение Уитни Rfc-1 Rfc-1, заданное формулами JZ1 = х* H- X2Xk-2 -j- . .. -f- xk_xxv у2 = х2,..., у = хк^.

Доказать, что Qf —• алгебра срезанных многочленов степени меньше к.

Задача 4. Пусть /±: R4-^-R4 — эллиптическое и гиперболическое отображения класса Ha (стр. 37). Доказать, что обе соответствующие локальные R-алгебры Qf имеют R-размерность 4 и

яеизоморфны.

Замечание. В комплексном случае отображения /± эквивалентны, а соответствующие им С-алгебры имеют С-размерность 4 и изоморфны. Таким образом, неизоморфные R-алгебры Qf

вляются двумя «вещественными формами» одной и той же С-алгебры, которая является комплексификацией каждой из этих R-алгебр.

4.3. Кратность отображения в точке. Числа прообразов точки общего положения в комплексных вариантах приведенных выше задач 2—4 равны размерностям соответствующих локальных С-алгебр Qf над С (т. е. равны, соответственно, к, к, 4). Это не случайно.

Пусть дан росток голоморфного отображения /: (С", 0) -»

-ЧС",0).

Теорема. Число близких к нулю прообразов близкой к нулю точки общего положения при отображении / равно размерности локальной алгебры:

fj. = dime Qf.

Доказательство этой теоремы занимает следующий параграф; там дано и точное определение «числа близких к нулю прообразов».
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed