Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 25

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 129 >> Следующая


I 1 при х = \]в, j О при х = \/е,

S1 = < _ S2 = j

( О при X=—\Je; ( 1 при X = —\1е.

Однако этот базис неудобен для изучения предельного перехода при стремлении е к нулю. Другой базис образуют сужения на наше двоеточие простейших многочленов ниже второй степени от х:

eI - І >

Таблица умножения алгебры Qe во втором базисе имеет вид

І 1 г

і 1 І50

основные понятия

" [гл. i

существуют и неустранимы целые кривые (поверхности, . . .) в пространстве-прообразе, такие, что струи отображения в точках этих кривых (поверхностей, . . .) имеют модули. Более того, при достаточно больших п неустранима и такая ситуация, когда число этих модулей больше размерности соответствующего подмногообразия (кривой, поверхности, . . .). В таком случае набор

модулей задает отображение указанного подмногообразия пространства-прообраза в пространство значений модулей. Образ этого отображения — подмножество (кривая, поверхность, . . .) в пространстве значений модулей. Это подмножество инвариантно связано с исходным отображением. Итак, мы получаем в качестве инварианта дифференцируемого отображения целую кривую (поверхность, . . .). Можно сказать, что при больших п модули сами становятся функциональными. Было бы интересно сформулировать соответствующие теоремы об асимптотиках числа модулей в пространстве fc-струй при любых к.

В случае отображений пространств произвольных размерностей Mm N" ситуация аналогична, только вместе с увеличением п надо увеличивать т так, чтобы идти внутрь области плохих размерностей Мазера, заштрихованной на рис. 35. Уолл доказал, что число модулей становится бесконечным сразу же за границей области плохих размерностей, т. е. как только имеющие модули струи появляются не в изолированных точках. Таким образом, внутри области плохих размерностей дифференцируемый тип отображения в точке не определяется никакой струей конечного порядка (для некоторых отображений, образующих открытое множество в пространстве всех отображений).

§ 4. Локальная алгебра особенности и подготовительная

теорема Вейерштрасса

Каждый геометрический объект может описываться двумя способами — в терминах точек многообразий и в терминах функций на них.

Там, где геометр говорит о многообразии, алгебраист предпочитает говорить об алгебре функций (имея в виду алгебру функций на этом многообразии). Подмногообразию отвечает идеал

Рис. 35. локальная алгебра осоВенЙосЇЙ 64

64

(образованный функциями, обращающимися в нуль на этом подмногообразии). Алгебра функций на подмногообразии получается из алгебры функций на исходном многообразии факторизацией по этому идеалу. Точки многообразий — это минимальные его подмногообразия, им отвечают максимальные идеалы и т. д.

Алгебраический способ описания оказывается особенно удобным в случаях вырождений, когда геометрические объекты становятся микроскопическими и их непосредственное изучение затруднительно.

В частности, с каждой особенностью дифференцируемого отображения в точке связывается некоторая локальная алгебра — «алгебра функций на инфините зима льном прообразе точки». Чтобы понять определение этой алгебры, начнем с простейшего примера.

4.1. Алгебра функций на слипшемся двоеточии. Рассмотрим отображение вещественной прямой на прямую, заданное формулой у—X2 (рис. 36). Зафиксируем неособое значение у — ъ- Его прообраз состоит из двух точек. Рассмотрим алгебру всех функций на множестве, состоящем из этих двух точек. Эта R-алгебра (алгебра над полем R) представляет собой линейное функциональное пространство размерности 2 (так как функция определяется своими значениями в двух точках), снабженное операцией (поточечного) умножения функций. Мы обозначим алгебру функций на прообразах точки є через Qi.

В линейном пространстве алгебры Qe имеется естественный базис из S-функций:

1 при Х — \/е, [о при Х—\/е,

- ^a — ]

О при X=—\Js; ( 1 при X = —\/є.

Однако этот базис неудобен для изучения предельного перехода при стремлении е к нулю. Другой базис образуют сужения на наше двоеточие простейших многочленов ниже второй степени от х:

C1 -1, —- X.

Таблица умножения алгебры Qe во втором базисе имеет вид

1 *

і 1

x

x е. 58

основные понятия

[ГЛ. I

Пусть є стремится к нулю. Тогда определенная алгеброй операция умножения в двумерном пространстве многочленов ниже второй степени переходит в пределе в операцию на том же линейном пространстве, заданную таблицей умножения

1 X
1 1 X
X X 0

Пространство многочленов ниже второй степени с указанной операцией образует алгебру. Эта алгебра и пазывается^алгеброй функций на слипшемся двоеточии, Q — lim Q€.

є->-0

Алгебра функций на слипшемся двоеточии может быть также описана как фактор-алгебра Q = R |ВД]/(д:2) алгебры R [[х]] формальных степенных рядов от х по идеалу, порожденному х2. Вместо алгебры рядов можно также взять алгебру многочленов R [х]. Алгебра Q функций на слипшемся двоеточии называется поэтому также алгеброй срезанных полиномов ниже второй степени.

Перенесение описанных конструкций на более общий случай произвольного гладкого отображения приводит к следующему определению алгебры функций на инфинитезимальном прообразе точки.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed