Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
По условию р-правильности а+р-=все. Следовательно, (апп а) П (апп ^)=0. Но апп fx= р., так как р. лагранжево. Итак, (апп а) П P1-=O. Но согласно «доказанному предложению апп а есть касательное пространство к слою расслоения Значит,
пересечение M с А не касается слоев этого расслоения. Итак, проектирование — иммерсия.
Б) Иммерсированное многообразие L = (М f| А) лагранжево.
Действительно, на А у=0, поэтому ?(й/Дс?х+?с?хДйХ= = E dx/\dk. Значит, косоортогональность касательных к M А векторов в большом фазовом пространстве влечет за собой косоортогональность их проекций в малое фазовое пространство. Итак, лагранжевость L следует из лагранжевости М. Утверждение 1° доказано.
В) Произвольный росток лагранжева подмногообразия L в малом фазовом пространстве задается одной из 21 производящих функций вида S (lj, %j) по формулам
= Xj = —dSjdx-j.
Здесь (I, J) — разбиение множества (1, . . ., 1} на две части; пусть к — число элементов J (число патологических аргументов функции S). Будем рассматривать S как семейство функций от второго (^-мерного), патологического аргумента, считая первый аргумент параметром.' Рассмотрим семейство F (х, X)=S (Xj, х)+<\/, х) функций ^-мерного аргумента х, зависящих от Z-мерного параметра X (по параметру Xj это семейство линейно). Семейство F задает лагранжево сечение M кокасательного расслоения большого пространства по обычным формулам
у = dFjdx, x = dFjd\.
Определим вспомогательное расслоение р обычной формулой р (х, Х)=Х.
Предложение 2. Лагранжево многообразие M р-правильно. Соответствующий ему лагранжев росток в малом фазовом пространстве есть исходное лагранжево подмногообразие L.
16 В. И. Арнольд и др. 242
особенности каустик и волновых фронтов [гл. ііі
Доказательство. На M локальными координатами являются X и X; согласно определению F, на M
у = dS/dx + Xj, Xj = SSjdX1, =z х.
Следовательно, det (dy/dXj) ^= 0. Это доказывает независимость сужений к форм dyt на М. Следовательно, многообразие M трансверсально многообразию А с уравнением 2/=0, т. е. р-правильно.
При у=0 из выписанных выше соотношений следует
Xj = —dS/dx, у. і = OSjdX1, х = хг
Поэтому проекция M П А в малое фазовое пространство (забывание х) совпадает с L. Тем самым предложение, а с ним и утверждение 2° теоремы доказаны.
Определение. Производящим семейством лагранжева ростка L называется росток функции F на большом пространстве, производящей для р-правильного ростка лагранжева многообразия M: y=dF/dx, x=dF/dX, который после пересечения со смешанным пространством А вспомогательного расслоения р {х, X) = =X и естественного проектирования в малое фазовое пространство превращается в L.
Иными словами, L выражается через F по формуле (*) п. 19.1.
Замечание 1. Условие р-правильности: ранг матрицы (d2Fjdx2, O2Fjdx дХ) в точках, где dFjdx = 0, — максимально возможный (равен числу к аргументов Xi). Действительно, р-пра-видьность означает независимость сужений форм dyi на M в точках из Mf\A и на M
dy, = 2 ^Fjdxdx1) dx. + (PFIdxlSk J dkm.
Замечание 2. Ядро производной лагранжева отображения (проектирования L на базу) выражается через производящее семейство следующим образом.
Будем рассматривать матрицу d2Fjdx2 как задающую линейный оператор Rfc Rfc, а матрицу d2FjdX дх — как задающую линейный оператор R' -> Rfc, транспонированную матрицу d2Fjdx дХ — как задающую оператор Rfc -»• Ri.
Будем обозначать вектор из компонент dui (т|) элемента ц через du (ц) (и обозначает х, или у, или X, или *).
Когда т) пробегает ядро производной, вектор dx (tj) пробегает образ ядра оператора d2F/dx2 под действием оператора S2FJdx дХ.
Действительно, мы имеем
dy = (d2F/dx2)dx + (d2F/dXdx)dX, dy(i\) = 0, dX (rj) = 0, x = dF/dX. Следовательно,
dx (T1) Є Ker (d2F?xl), dx (T1) = (d2F/dx dX) dx (T1), что и требовалось доказать. 8 19]
производящие семейства
243
Замечание 3. Из р-правильности следует, что отображение тг) dx (т|) задает изоморфизм ядра производной с пространством [SiFjdx д\) Ker O2Ffdxjl) (так как L иммерсировано в малое фазовое пространство).
Следствие. Размерность ядра производной не превосходит min (к, I) {т. е. размерностей слоя и базы вспомогательного расслое-ния).
Таким образом, если размерность ядра производной лагранжева отображения в точке равна т, то размерность к слоя вспомогательного расслоения для задающего это отображение производящего семейства не меньше, чем т. Росток производящего семейства со слоями наименьшей возможной размерности (к=т) существует. Этот росток построен в л. В) доказательства теоремы (так как число патологических аргументов производящей функции S можно взять равным т).
Следствие. Для ростка в точке производящего семейства с минимально возможной размерностью слоя вспомогательного расслоения d2Fld^c2=O в рассматриваемой точке.
19.4. Лагранжева эквивалентность и ^+-эквивалентность производящих семейств.
Определение. Диффеоморфизм пространства гладкого расслоения в себя называется расслоенным, если он переводит слои в слои (такой диффеоморфизм индуцирует диффеоморфизм базы).
