Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть (^1, . . ., qn) — локальные координаты в конфигурационном пространстве и Qj1, . . ., q„) — соответствующие координаты в фазовом пространстве. Тогда стандартная 1-форма записывается в виде а=?Pidqi. Отсюда следует, что 2-форма m=da замкнута и невырождена (см. пример 1).
Теорема (Дарбу). Все симплектические структуры на многообразии фиксированной размерности локально эквивалентны (диффеомор фны).
Иными словами, в окрестности каждой точки всякая симплек-тическая структура записывается в подходящих координатах в виде W=Edpi^dqi.
Доказательство. Воспользуемся гомотопическим методом. Пусть { Mi) (t (й {0, 1 ]) — гладко зависящее от t семейство ростков невырожденных 2-форм в окрестности точки нуль, совпадающих в этой точке. Ищем семейство ростков диффеоморфизмов оставляющих нуль на месте, для которого g*(ot=(o0. Дифференцируя это соотношение по t, получаем гомологическое уравнение в виде
Lvt(I)i = —
где^Т< — известная замкнутая 2-форма (производная Wi по t), a Vt — искомое векторное поле. Пользуясь тождеством L=id-\-di (где L — производная Ли, а і — сворачивание: (ї5м)(?)= м(у, !)), мы можем переписать гомологическое уравнение в виде
- divt<ot = —yf.
Выберем теперь 1-форму at, равную нулю в точке нуль, так, чтобы dat = —yt. Уравнение Ut <ot=a.t относительно поля Vi однозначно разрешимо (ввиду невырожденности u)t). Поле Vi в нуле равно нулю, поэтому определяет искомое семейство ростков диффеоморфизмов {gf j для 0 ^ t ^ 1.
18.2. Гамильтоновы поля. Пусть H: M-^-R — функция на симплектическом многообразии (М, ш). Форма ш, будучи невырож- § 18]
лагранжевы особенности
231
денной, определяет изоморфизм между" касательным и кокаса-тельным пространствами в каждой точке многообразия: вектору v соответствует 1-форма i/o. Дифференциал функции H является 1-формой на многообразии M. Указанный выше изоморфизм сопоставляет функции H векторное поле Xk (так что dH (S)= =— со (Xh, ?))• Это векторное поле называется гамильтоновым, а функция H — гамильтонианом или функцией Гамильтона этого поля.
Система дифференциальных уравнений, заданных гамилътоновым полем, называется канонической системой уравнений Гамильтона.
Пример. В стандартном симплектическом пространстве система уравнений Гамильтона имеет вид (ради которого выше введен минус)
р = —д ff Idg, q = дН[др.
Фазовый поток уравнений Гамильтона сохраняет симплектиче-скую структуру. Действительно, поскольку L=id-\-di, то
Lxhо> = і xjjdu -j- dixrfi) = —ddff — 0.
Производная функции F вдоль гамильтонова поля с функцией Гамильтона H называется скобкой Пуассона (H1 F). Очевидно, (Н, F)=dF (Xe)=— "J (Xf, Хв), поэтому скобка Пуассона кососимметрична.-Легко проверить, что скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби, так что пространство функций Гамильтона, снабженное скобкой Пуассона, является алгеброй Ли.
Поле, гамильтониан которого — скобка Пуассона двух функций, является скобкой Пуассона полей, гамильтонианы которых — эти функции.
Две функции находятся в инволюцииі если ^их~ скобка Пуассона равна нулю. Иными словами, функции, находящиеся в инволюции с гамильтонианом, — это первые интегралы уравнений Гамильтона. _ * ''
При работе с обычными многообразиями'имеется два способа понижения размерности: сечения и проектирования (т. е. переход к подмногообразиям и к фактор-многообразиям). В классе симплек-тических многообразий размерность может меняться только на четное число единиц, и понижение осуществляется в два этапа, один из которых — сечение, а другой — проектирование.
Рассмотрим, например, подмногообразие -ff—const симплекти-ческого многообразия M размерности In. Это подмногообразие нечетномерно, но оно разбито на фазовые кривые гамильтонова поля с гамильтонианом Н. Множество фазовых кривых на поверхности І7=const можно рассматривать как 2п—2-мерное многообразие (по меньшей мере локально — в окрестности неособой точки, тто иногда и глобально). Это In—2-мерное многообразие N насде- 232
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК и волновых ФРОНТОВ
[ГЛ. III
дует из M симплектическую структуру, определяемую следующим образом: пусть А — поверхность .Sr=Const, тс: А N — проекция; симплектическая структура ш на N определяется формулой
^Tj)= ш (?, К])
для любых касательных кі в одной точке векторов S, т]. Легко проверить, что значение правой части зависит лишь от проекций TT1. я, Tt41Tj и определяет на факторе симплектическую структуру.
Пример. Пусть M — стандартное R2", Н—р2, А — гиперповерхность H=1.
Решение уравнений Гамильтона имеет! вид q=q0-\-2p0t, р—р0. Поэтому пространство фазовых кривых из А определено в'целом: это многообразие всех ориентированных прямых в R*.
Следствие. Многообразие всех ориентированных прямых в евклидовом пространстве имеет симплектическую структуру.
Замечание. Многообразие всех ориентированных прямых в евклидовом"пространстве диффеоморфно" (ко)касательному расслоению сферы. Ш
Действительно, сопоставим нашей прямой q-\-pt точку р/\р\, являющуюся ортом направленной прямой. Эта точка принадлежит единичной сфере евклидова пространства. Касательная плоскость к сфере в точке pl\p I пересекается с исходной прямой в некоторой точке. Эта точка определяет касательный вектор на сфере. Нетрудно проверить, что обе симплектические структуры пространства прямых в евклидовом R" (индуцированные из R2" и из T*S"~l) отличаются лишь знаком. !?г<
