Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Форма со замкнута и невырождена (ибо сужение йана транс-версаль к интегральным кривым "обладает этими свойствами ввиду контактности формы а). По симплектической теореме Дарбу на V существуют (локальные) координаты (р, q) такие, что OJ=-S dp. Д dq.. Положим х{=р*q., у{ = р*р{, тогда р* (р dq) = =у dx. Следовательно, d (—у dx)=da. Значит, d (а-\-у dx)=0. Определим локальную функцию z на U соотношением а-\-у dx= =dz. Легко проверить, что функции (х, у, z) определяют искомую систему координат: a=dz—у dx.
Замечание. Иногда форма а и симплектическое фактор-многообразие V определены и в целом. Например, рассмотрим сферическое кокасательное расслоение евклидова пространства STftR"=? R», у (; R": J у |=1} с контактной формой, индуцированной из у dx. Фактор-многообразие V есть многообразие ориентированных прямых'в Rn;'его симплектическая струк-тура уже описана в п. 18.2.
20.2. Лежандровы подмногообразия. Подмногообразие контактного многообразия называется интегральным, если его касательная плоскость в каждой точке принадлежит контактной плоскости. Щ
Размерность всякого интегрального многообразия меньше половины размерности контактного многообразия (это вытекает из невырожденности контактной формы на контактной плоскости). Интегральные многообразия наибольшей возможной размерности (равной половине размерности контактной плоскости) называются лежандровыми подмногообразиями контактного многообразия. § 20] ЛЕЖАНДРОБЫ ОСОБЕННОСТИ
251
Пример 1. Плоскость a:=const, Z=Const в стандартном контактном пространстве с координатами х, у, z и формой а=dz—у dx лежандрова.
Пример 2. 1-график любой функции является лежандро-вым подмногообразием контактного многообразия 1-струй функций.
Пример 3. Множество всех контактных элементов, касающихся данной гиперповерхности многообразия В, является лежан-дровым подмногообразием пространства проективного кокаса-тельного расслоения РТ*В.
Лежандрово многообразие образуют также все контактные элементы, касающиеся фиксированного подмногообразия любой положительной коразмерности в В (например, точки). В частности, слои проективного кокасательного расслоения PT*В В ле-жандровы.
Предложение. При локальном проектировании р контактного многообразия на симплектическое, построенном в п. 20.1, лежандровы подмногообразия контактного пространства локально диффеоморфно отображаются в лагранжевы подмногообразия сим-плектического пространства. Все лагранжевы подмногообразия симплектического пространства получаются этим способом. JIe-жандров росток однозначно onpedeляemcя одной своей точкой и своим лагранжевым образом.
Доказательство. Локальная диффеоморфность вытекает из трансверсальности О-пространств форм а и da.. Лагранже-вость образа следует из того, что сужение da на лежандрово
подмногообразие равно 0. Остальное очевидно ^z = J у dxj.
Следствие. Всякий росток лежандрова подмногообразия в 2п-\А-мерном контактном пространстве с контактной формой а=dz—у dx задается одной из 2" производящих функций S по формулам
у j = dS/dxj, Xj= —dSjdyj, Z = S (хГ уJj -f (xjy у,),
где (/, /) — разбиение множества (1, . . ., п) на непересекающиеся подмножества.
20.3. Лежандровы расслоения. Расслоение тс: Е2п+1 -*• ?"+1 называется лежандровым, если его пространство E снабжено контактной структурой, а слои — лежандровы подмногообразия.
Пример 1. Ra"+1-^R"+1, a = dz — ydx, тс (х, у, z) = (х, z) — стандартное лежандрово расслоение.
Пример 2. Р(М, R)-> J0 (М, R) = MxR (отображение забывания производных).
Пример 3. тс: PT*В В (проективное кокасательное расслоение).
Пример 4. Пространство PT* R" контактных элементов в R" лежандрово расслоено еще и по-другому, над пространством ІЬ2
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОЙТОВ
(ГЛ. ill
гиперплоскостей в R". Расслоение сопоставляет контактному элементу содержащую его плоскость. Аналогичным образом, ориентированные контактные элементы образуют расслоение над многообразием ориентированных гиперплоскостей в R".
После факторизации, указанной в доказательстве теоремы Дарбу (см. замечание в п. 20.1), это лежандрово расслоение переходит в лагранжево, а именно в кокасательное расслоение сферы (проверьте!).
Теорема. Все лежандровы расслоения фиксированной размерности локально контактно диффеоморфны (локально =в окрестности каждой точки пространства расслоения).
Доказательство. Пусть тс: Егп+1 -*¦ В"*1—лежандрово расслоение, а — контактная 1-форма, К — контактная плоскость в точке из Е, F — касательная плоскость к слою в этой точке (dim К=2п, dim F=n). По условию F лежит в К, поэтому образ К при отображении проектирования тс.,.: ТЕ ->¦ ТВ имеет размерность п, т. е. есть контактный элемент на В.
Тем самым мы построили отображение из E в PT*В, переводящее слои расслоения тс в слои проективного кокасательного расслоения над В. Покажем, что это отображение — локальный диффеоморфизм.
Введем на В локальные координаты (qv . . ., qn, г) так, чтобы рассматриваемая точка была началом координат и рассматриваемый контактный элемент имел уравнение dr=0. На E определим локальные координаты (Xi = ^qi, г=к*г, рг, . . ., рп) с началом в изучаемой точке.
