Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
В) Стабильно R+-эквивалентные производящие семейства задают лагранжево эквивалентные ростки.
Действительно, производящие семейства F (х, X) и F (х, л) + ±z2 (с параметрами X) задают один и тот же лагранжев росток:
(X, х: Bx: dFldx —0, x — dF/dk} =
= {Х, х: Зх, z: dF/dx = 0,z = 0, x = dFldk}.
Г) Любые dea npouзвodящux семейства одного и того же лагранжева ростка R+ -стабильно эквивалентны.
Это — наиболее содержательная часть доказательства. 246
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
а) Редукция к случаю O2FIdx2-=Q. По обобщенной лемме Морса (п. 11.1) существует росток диффеоморфизма (х, X) н*- (и, V, X), для которого F (х, X)=F1 (и, Х)+<2 (v), где Q — невырожденная квадратичная форма и d2F1/du2 в рассматриваемой точке есть нуль.
Рассмотрим F1 как семейство функций от и с параметрами X. Это семейство производящее и задает тот же лагранжев росток, что и F.
Итак, каждое производящее семейство данного ростка Л'"'-стабильно эквивалентно производящему семейству с d2F Idx2=O, т. е. производящему семейству с размерностью слоя вспомогательного расслоения, имеющей наименьшее возможное значение (равное размерности ядра производной лагранжева отображения). Такое производящее семейство мы будем называть минимальным.
б) Утверждение Г) вытекает из а) и следующего предложения:
Минимальные производящие семейства одного лагранжева ростка
R + -эквивалентны.
в) Редукция к случаю специального производящего семейства-Мы уже отмечали, что всякий лагранжев росток допускает производящую функцию с минимальным числом патологических аргументов х ., j J (равным размерности к ядра лагранжева отображения):
Xj = dSjdr.j, Ij — —dSjdv.j
(здесь (X, х) н-э- X — кокасательное расслоение пространства R'). Мы зафиксируем этот набор к патологических аргументов.
Предложение. Для минимального производящего семейства F (х, X), задающего рассматриваемый лагранжев росток. det (d2F!dx dlj) =^ 0.
Док азательство. Условие трансверсальности, при котором лагранжев росток задается производящей функцией с к патологическими аргументами j ?/,состоит в независимости к форм dxj на ядре лагранжева отображения, т. е. в невырожденности отображения, сопоставляющего вектору ядра "П вектор с компонентами dxj ("Ц). Ввиду минимальности семейства это линейное отображение Rfc -*¦ Rfc задается матрицей d2Ftdx d\j. Итак, det (d2Fldx dlj) =^ 0.
Определение. Минимальное производящее семейство F называется специальным, если при dFIdx=O выполняется условие x=dFld\j.
Утверждение б) вытекает из двух лемм.
Лемма 1. Росток минимального производящего семейства R ^-эквивалентен ростку специального производящего семейства, определяющего тот же лагранжев росток.
Лемма 2. Ростки специальных производящих семейств, определяющих один и тот же лагранжев росток, R*-эквивалентны. § 19] производящие семейства
261
г) Доказательство леммы, 1. Пусть F — минимальное производящее семейство. Тогда det (SiFtdx dlj) =^=0.
Пусть Xj (х, X)=3jFtd\j. Отображение (хх X) ь-> (XJ (х, X), X) задает расслоенный диффеоморфизм большого пространства. Индуцированная лагранжева эквивалентность переводит лагранжево сечение М, заданное производящей функцией F, в новое лагранжево сечение.
Это сечение задает специальное производящее семейство. Действительно, это производящее семейство имеет вид F1 (х, X) = = F (и (х, X), X), где (хг X) н-> (и (х, X), X) — обращение отображения (X, X) н-» (xj (хг XJi X). Из dFJdx=0 следует dFIdu=Q, поэтому при dFJdx=O имеем dFJd\=dFld'k = xj (и (х, X), Х)==х, что доказывает специальность F1. Ростки F и F1 определяют один и тот же лагранжев росток и Д-эквивалентны. Лемма 1 доказана.
д) Доказательство леммы 2. Пусть F — производящее семейство лагранжева ростка. Рассмотрим множество критических точек семейства
N={xx X: dFIdx=O].
Это множество естественно диффеоморфно нашему лагранжеву ростку.
П р е д л о ж е н и е. Пусть F0, F1 — dea специальных про-изводящих^семейства^одного ростка. Tozda-. 1) их множества критических значений совпадают: N0=N1=N; 2) сужения F0 и F1 на N coвnadaюm срочностьюJio аддитивной постоянной; 3) полный дифференциал , F0—F1 равен 0 на всем U N.
Доказательств о. 1) Поскольку FfTCспециально, Ni есть образ^нашего лагранжева ростка при отображении, со-поставляющем^точке (х, X) точку (xj, X). Поэтому Ni не зависит от і. 2) Точки нашего лагранжева ростка параметризуются значениями X/ и ¦/../.] В частности, х определяются по Xj и х.^ Значит, dFildl в точках N однозначно определено лагранжевым^ростком и не зависит от*і. Отсюда следует 3), а значит, и ь ч
Пусть F0 и F1 — два специальных производящих^семейства одного лагранжева ростка таких, что значения F0 я F1 в начальной точке совпадают. Согласно доказанному предложению F0—F1 имеет на множестве критических значений N нуль не ниже второго порядка.
Соединим F0 с гомотопией Ff=F^t(F1-F0). Ff- специальное производящее семейство того же ростка. Будем искать гладко зависящее от t ^ [0, 1 ] семейство диффеоморфизмов Gft Gt (х, X) H= (g (х, X, t), X), такое, что FfoGf=F0'^(точнее говоря, Gt — росток диффеоморфизма, оставляющего на месте изучаемую точку). Росток диффеоморфизма G1 устанавливает Д-эквивалент-ность семейств F0 и F11 что и доказывает лемму 2. 248
