Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
Дифференцируя соотношение F1 о Gt = F0 по t, мы получаем уравнение
Wi — -Fo) + 2 Е, (ВД = 0 (***)
относительно компонент зависящего от t векторного поля S= =S ?«• (х, X, і) дідхі скоростей семейства диффеоморфизмов Gt.
Рассмотрим в пространстве с координатами (х, X, t) многообразие N' -Nx {t}. Уравнения OFtIdxi-Q (і=1, . . ., к) составляют систему независимых уравнений этого многообразия. По лемме Адамара всякая функция, обращающаяся на этом многообразии в нуль, представима в виде линейной комбинации OFiIdxi (с функциональными коэффициентами). Поэтому всякая функция Ф, имеющая на N нуль второго порядка, представима в виде
Ф (X, х, O=S^ (*. *) dFt/dXi, Hi \N' = 0.
В частности, полагая Ф=F0—F1, мы убеждаемся в разрешимости уравнения (***), причем g | N' = 0.
Полученное зависящее от t векторное поле 5 обращается в 0 на N и поэтому задает в окрестности изучаемой точки диффеоморфизмы Gt при всех t(*[0, 1]. Диффеоморфизм G1 расслоен (имеет вид G1 (х, Х)=(# (х, X), X)) и F1OG1=F0. Следовательно, F1 /^-эквивалентно F0, что и требовалось доказать.
§ 20. Лежандровы особенности
Отложим вдоль каждой внутренней нормали к эллипсу отрезок длины t. Свободные концы этих отрезков образуют кривую, называемую фронтом (возмущения, распространяющегося внутрь эллипса в течение времени t).
Если t малб, фронт гладкий, но для больших і фронт имеет особенности (4 точки возврата). Такие же особенности возникают на фронте, распространяющемся от близкой к эллипсу кривой. В этом параграфе строится аппарат исследования особенностей фронтов — теория лежандровых особенностей.
20.1. Контактные многообразия. Наиболее общее определение фронта дается в терминах геометрии контактной структуры.
Контактной структурой на многообразии называется поле гиперплоскостей *), удовлетворяющее следующему условию максимальной неинтегрируемости: если а — 1-форма, локально задающая данное поле гиперплоскостей (как поле своих нулевых подпространств), то 2-форма da на каждой плоскости а=0 невырождена.
Плоскости поля называются контактными плоскостями. Каждая 1-форма а, локально задающая поле контактных плоскостей,
*) Плоскостей коразмерности один в касательных пространствах. § 20]
ЛЕЖАНДРОБЫ ОСОБЕННОСТИ
249
называется контактной формой. (Она определяется лишь локально и лишь с точностью до умножения на отличную от 0 функцию.) Нетрудно проверить, что условие невырожденности не зависит от выбора специальной контактной формы, но лишь от поля гиперплоскостей.
Поскольку невырожденные кососимметрические билинейные формы бывают лишь на четномерных пространствах, контактная структура может существовать только на нечетномерном многообразии.
Пример 1. Линейное пространство R2"+1 с координатами (X1, . . ¦, хп', Tj1, . . ., уп) z) имеет стандартную контактную струк-туру, заданную формой a=dz—у dx (неинтегрируемость очевидна).
Пример 2. Пусть V — гладкое га-мерное многообразие, J1 (F, R) — многообразие 1-струй функций на V. Это многообразие размерности 2га+1 имеет естественную контактную структуру: гиперплоскости определяются как замыкания объединений касательных пространств к 1-графикам функций /: V -* R (1-гра-фик функции / — это образ отображения, сопоставляющего точке X 1-струю функции / в точке х).
Что эта конструкция определяет контактную структуру, легко проверить с помощью локальных координат в пространстве струй. Пусть (хг, . . ., хп) — локальные координаты на V, z в R и (уі, • • ••> У„) — значения первых частных производных функции Z= f (х). Тогда контактная структура J1 локально задается формой a=dz—у dx, как в примере 1.
П*р и м е р 3. Пусть В — гладкое многообразие. Контакт-ним элементом на В называется гиперплоскость в касательном пространстве к В.
Множество всех контактных элементов, касающихся В в данной точке Ъ, образует проективное пространство PTtB (это — проек-тивизация кокасательного пространства к В в Ъ). Множество всех контактных элементов на В образует многообразие контактных элементов размерности 2 dim В—1 (пространство проективного кокасательного расслоения В, обозначаемое PT*В). На РТ*В имеется естественная контактная структура, определяемая так: скорость движения контактного элемента принадлежит контактной гиперплоскости, если скорость движения точки приложения принадлежит самому контактному элементу.
Теорема Дарбу (о контактных структурах). Все контактные структуры на многообразии фиксированной размерности локально эквивалентны (диффеоморфны).
Иными словами, в окрестности каждой точки контактного многообразия контактная структура задается в подходящих координатах формой dz—у dx.
Теорема Дарбу (о контактных формах). Все контактные формы на многообразии фиксированной размерности локально 250
особенности каустик и волновых фронтов [гл. ІІі
эквивалентны (диффеоморфны), т. е. в подходящих*координатах имеют вид dz—у dx.
Доказательство. Теорема о структурах вытекает из теоремы о формах, которую мы и будем доказывать. Пусть а — контактная форма. Рассмотрим кососимметрическую 2-форму da в фиксированном касательном пространстве. Ввиду контактности формы а форма da имеет одномерное 0-пространство (множество векторов для которых da (?, -)=0)- Рассмотрим поле 0-про-странств формы а. Отрезки интегральных кривых этого поля в окрестности U рассматриваемой точки образуют многообразие V четной размерности. Рассмотрим проектирование р: U V вдоль интегральных кривых. Форма da проектируется в некоторую 2-форму со на V. Действительно, рассмотрим двумерную площадку а на V, трехмерный цилиндр р_1а и цилиндрическую 3-цепь с, образованную частью этого цилиндра между двумя сечениями о' и о" расслоения р над о. Интеграл формы da по боковой поверхности цилиндра с равен нулю, поэтому интегралы da по а' и по а" одинаковы; их общее значение и есть значение интеграла формы со по а. При этом da=p*m.
