Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
239
поверхности наблюдения. Это многообразие образовано импульсами (дифференциалами оптической длины пути), соответствующими всем локальным ветвям семейства фронтов.
Формулами эта ситуация описывается следующим образом. Пусть X6 Rfc — координаты точки источника, X^R'— координаты точки наблюдения, F (х, X) — оптическая длина пути от х до X. Условие перпендикулярности *) ведущего из X в X луча к источнику имеет вид dFIdx=Q. Лагранжево многообразие в ко-касательном расслоении поверхности наблюдения задается, следовательно, формулой
Л = (Х, х: Зх: dFldx — 0, х = dF/dl). (*)
[Мы пользуемся здесь обычными координатами в кокасательном расслоении: точка (X, х) из R2i — это форма Xjdk1 -j- .. . -f-в точке X из Ri.]
Формула (*) задает Z-мерное лагранжево многообразие Л при помоши функции F от п=к-\-1 переменных. Функцию F можно рассматривать как семейство функций от к переменных х с I параметрами X. Это семейство Хёрмандер предложил называть производящим семейством для лагранжева ростка Л **).
Следует подчеркнуть, что лагранжево многообразие Л, вообще говоря, не является сечением кокасательного расслоения: его проектирование на поверхность наблюдения определяет на ней каустики. В то же время исходная функция F предполагалась однозначной.
Формулу (*) можно истолковать еще следующим образом. Рассмотрим в кокасательном расслоении произведения источника и поверхности наблюдения лагранжево подмногообразие-сечение, заданное производящей функцией F:
M — {{х, X; у, х): у = dFldx, х = dF/dk).
Многообразие Л получается из M сечением плоскостью у=О и последующим проектированием (забыванием х и у).
То же самое можно выразить еще следующим более ученым образом.
19.2. Подготовительные определения. Рассмотрим вспомогательное расслоение р: R*+i->R , р (х, X) = X. Мы будем называть Ri+' большим пространством, a R — базой. Пространство кокасательного расслоения большого пространства (базы) мы будем называть большим (малым) фазовым пространством соответственно.
*) То есть условие стационарности пути из х в X по сравнению с путями в X из соседних точек.
**) Производящие семейства линейных по х функций встречались уже у Якоби и Ли (см. способ задания канонических преобразований функциями избыточного числа переменных в § 126 учебника Уиттеккера «Аналитическая динамика», M., 1937). 240
особенности каустик и волновых фронтов [ГЛ. ІІі
Определение. Смешанным пространством для р называется множество всех векторов, кокасательных небольшому пространству, обращающихся в нуль на векторах, касательных к слоям расслоения р.
Мы будем обозначать смешанное пространство буквой А.
Смешанное пространство А является подмногообразием большого фазового пространства. Поэтому смешанное пространство А расслоено над большим пространством. Слои естественно изоморфны кокасательным пространствам базы. Это расслоение А -> R4+' мы будем называть смешанным расслоением *).
Смешанное пространство А естественно проектируется на малое фазовое пространство: кокасательный вектор к большому пространству, равный нулю на касательных к слоям вспомогательного расслоения векторам, определяет кокасательный вектор на базе. Слои этого расслоения А -» изоморфны слоям вспо-
могательного расслоения р **).
Таким образом, смешанное и два кокасательных расслоения образуют коммутативную диаграмму:
T* R'*^-А —T* R*" (X, Л) — {х, X, X) — 0,х, Л)
Определение. Лагранжево подмногообразие большого кокасательного расслоения называется р-правильным, если оно трансверсально смешанному пространству А для р.
19.3. Существование производящего семейства лагранжева ростка.
Теорема. 1°. Естественная проекция пересечения ^-правильного лагранжева многообразия с А в малое фазовое пространство является лагранжевым (иммерсированным) подмногообразием.
2°. Всякий росток лагранжева многообразия в малом фазовом пространстве может быть получен конструкцией 1° ив ростка р-правильного лагранжева сечения кокасательного расслоения подходящего большого пространства.
Доказательство. А) Пересечение р-правильного лагранжева подмногообразия M с А является подмногообразием размерности I в А.
Докажем, что сужение отображения р*тг на это подмногообразие невырождено.
*) Смешанное расслоение — это расслоение, индуцированное из кокасательного расслоения базы, я, при отображении р.
**) Это расслоение индуцировано из вспомогательного раселоения рпри отображении л.
а
IR § 19] ПРОИЗВОДЯЩИЕ СЕМЕЙСТВА
241
Рассмотрим касательные плоскости акЛирікЛГв точке пересечения как линейные подпространства линейного симплектического пространства, касательного к большому фазовому пространству.
Легко доказывается
Предложение 1. Косоортогоналъное дополнение апп а подпространства а есть касательное пространство к слою расслоения
Действительно, симплектическая структура имеет вид S dy/\dx-\--\-Hdx/\dk, а а задается уравнением Значит, апп а есть координатное х-пространство, а это и есть касательное пространство к слою р*п. Предложение доказано.
