Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 95

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 129 >> Следующая


Неособый линейный элемент определяет неособый росток проектирования поверхности (пучком прямых из точки приложения элемента). Стратификация многообразия особых элементов, с учетом расположения стратов относительно слоев расслоения PTHP3 -*¦ RjP3, приводит к классификации ростков проектирований гладких поверхностей общего положения в RJP3 пучками прямых. Классов 14: 10 и х3 ± ху1, x5-f-ху, ж4 -f-х%у -j- ху3.

Тангенциальные особенности естественно возникают также в задачах дифракции и в вариационной задаче о скорейшем обходе препятствия, где они и встретились О. А. Платоновой.

С другой стороны, Н. Н. Нехорошев в своем исследовании эволюции переменных действия в гамильтоновых системах, близких к интегрируемым, ввел показатели крутизны ах, . . ., ал_! невозмущенной функции Гамильтона H в области G пространства R".

Назовем г-мерную плоскость А допустимой в точке х из G, если точка X критическая для сужения H на А. Обозначим множество всех допустимых в X плоскостей через Mx, и пусть /д = =grad (HIА). Число ar ^ 1 называется r-мерным показателем крутизны HbG, если оно является точной нижней гранью чисел а, для которых 3A>03S>0: VS 6(0, 8) З?) Є(0, SJ: VA ?MxVx?G Vj/ 6 А; из Iх — У I — 7I вытекает | /д (у) | К\Л.

Е. Е. Ландис обнаружила связь показателей агс тангенциальными особенностями поверхностей уровня функции Гамильтона. Из ее результатов следует, что для функций Гамильтона общего положения, зависящих от п переменных, Ct1 =S^ 2п+1; при п=3 также CL2 ^ 2, причем указанные значения достигаются устойчивым образом. Таким образом, классификация тангенциальных особенностей однопараметрических семейств поверхностей позволяет вычислить все показатели крутизны функций Гамильтона общего положения в каждой точке для систем с двумя и тремя степенями свободы.

Тангенциальные особенности связаны также с особенностями отображения, сопоставляющего касательному линейному элементу поверхности содержащую его проективную прямую.

Рассмотрим пучок геодезических на поверхности в евклидовом трехмерном пространстве. Сопоставим каждой точке поверхности направление геодезической (точку на сфере). На некоторой кривой на поверхности геодезические пучки касаются асимптотических линий. В этих местах построенное отображение на сферу имеет особенности: складку в общей точке и сборки в исключительных. ГЛАВА III

ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ

Одним из наиболее успешных приложений теории особенностей является приложение к исследованию особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов. G математической точки зрения эти задачи связаны с особенностями общего положения отображений весьма специального вида: лагранжевых и лежандро-вых. В этой главе изложены начала теории лагранжевых и лежан-дровых особенностей; в § 21 приведена классификация особенностей каустик общего положения в пространстве не более 10 измерений и особенностей волновых фронтов общего положения в пространствах не более 11 измерений.

При движении волнового фронта его особенности скользят вдоль каустики и в отдельные моменты времени испытывают перестройки. Мы приводим в § 22 классификацию перестроек волновых фронтов в однопараметрических семействах общего положения в пространствах не более пяти измерений, а также классификацию перестроек каустик в однопараметрических семействах общего положения в пространствах не более трех измерений.

§ 18. Лагранжевы особенности

Каустику можно видеть на стене, освещенной лучами, отраженными от вогнутой поверхности (например, поверхности чашки). Двигая чашку, можно убедиться, что каустики общего положения имеют лишь стандартные особенности, а все более сложные особенности распадаются на стандартные при малом шевелении. В этом параграфе строится аппарат исследования особенностей каустик — теория лагранжевых особенностей.

18.1. Симплектические многообразия. Каустика — это огибающая семейства лучей. СемействТа лучей описываются в геометрической оптике (или в классической механике) при помощи так называемых лагранжевых подмногообразий фазового пространства. В этих терминах каустика — это множество особых значений проектирования лагранжева подмногообразия из фазового пространства на конфигурационное. Мы начнем с напоминания основных определений геометрии фазовых пространств.

Симплектической структурой на многообразии M называется замкнутая невырожденная 2-форма ш. 230

ОСОЁЕЙЙОСТЙ КАУСТИК Й ВОЛЙОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. 111

Пример 1. Линейное пространство Af=R2" с координатами Qs1, . . ., рп; Q1, . . ., д„) имеет стандартную симплектиче-скую структуру ш= Sdpi^dqi (замкнутость и невырожденность очевидны).

Пример 2. Пусть V — гладкое га-мерное многообразие (конфигурационное пространство), it: Т* VV—его кокаса-тельное расслоение. 2/г-мерное многообразие M=T* V называется фазовым пространством для конфигурационного пространства V. Фазовое пространство имеет стандартную симплекти-ческую структуру, определяемую следующим образом. Пусть х: TM -» M — касательное расслоение. Определим стандартную 1-форму а на Т*М условием a (^)=(^1)(? ?). Стандартная симплек-тическая структура фазового пространства — это 2-форма a>=da.
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed