Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
18.6. Лагранжевы отображения. Рассмотрим вложение в пространство лагранжева расслоения E В еще одного лагранжева подмногообразия (i: L -*¦ Е).
Сужение проектирования тс на L, т. е. тсо i: L -+В, называется лагранжевым отображением. йї
Лагранжевы отображения — это отображения многообразий одинаковой размерности, но они образуют специальный класс § 18].
лагранжевы особенности
237
отображений: особенности общего положения в классе всех отображений и в классе лагранжевых отображений, вообще говоря, различны. ^ ;
Пример 1. Градиентное отображение q ь-*- dS/dq лагран-жево.
Пример 2. Гауссово отображение трансверсально ориентированной гиперповерхности в евклидовом пространстве на сферу лагранжево.
Действительно, многообразие ориентированных нормалей к поверхности является лагранжевым подмногообразием в кокасатель-ном расслоении сферы (см. замечание в п. 18.2 и пример 4 в п. 18.3).
Задача. Вычислить производящую функцию гауссова отображения (т. е. производящую функцию лагранжева многообразия нормалей).
Ответ. Это опорная функция исходной гиперповерхности: в точке X гиперповерхности она равна <(х, у), где у — орт нормали.
Пример 3. Нормальное отображение, сопоставляющее век-—
тору uv нормали к поверхности в евклидовом пространстве, приложенному в точке и, точку V самого пространства, лагранжево.
. Лагранжевой эквивалентностью лагранжевых отображений называется лагранжева эквивалентность соответствующих расслоений, переводящая лагранжево многообразие-прообраз в первом пространстве расслоения в лагранжево многообразие-прообраз во втором.
i^Ji Аналогичные определения даются для ростков.
3 ад ач'а. s Докажите, что каждый росток лагранжева отображения лагранжево эквивалентен ростку градиентного отображения ,(а также ростку°гауссова отображения,"дтакже ростку нормального отображения).
!Замечание. Все лагранжевы ростки, близкие к данному градиентному (гауссову, нормальному), сами являются градиентными (гауссовыми, нормальными); поэтому явления общего положения в классе градиентных (гауссовых, нормальных) отображений — те же, что в классе всех лагранжевых отображений.
18.7. Каустики. Множество критических значений лагранжева отображения называется каустикой.
Пример. Для нормального отображения поверхности в евклидовом пространстве каустика есть множество центров кривизны: чтобы ее построить, нужно отложить вдоль каждой нормали соответствующие радиусы главных кривизн.
Центры кривизны эллипса образуют астроиду: это кривая с четырьмя точками возврата. Эти особенности устойчивы: при малом шевелении из эллипса получается кривая, центры которой 238
особенности каустик и волновых фронтов [гл. ІІі
образуют близкую к астроиде каустику с четырьмя точками возврата. Эту каустику можно получить также как огибающую семейства нормалей к эллипсу.
Поверхность центров кривизны трехосного эллипсоида устроена уже довольно сложно, но соответствующие лагранжевы особенности также устойчивы. Их изучил еще А. Кэли (1873).
Каустики лагранжево эквивалентных отображений диффео-морфны, так как сами отображения лево-право эквивалентны.
Из диффеоморфности каустик лагранжева эквивалентность, вообще говоря, не следует. Из диффеоморфности каустик не следует также и лево-правая эквивалентность, а из лево-правой — лагранжева.
Для лагранжевых отображений построена своя теория особенностей, параллельная общей теории особенностей. Оказывается, что теория устойчивых лагранжевых ростков сводится к теории версальных деформаций гладких функций. Это позволяет извлечь из теории особенностей семейств функций значительную информацию о лагранжевых особенностях.
§ 19. Производящие семейства
Росток n-мерного лагранжева многообразия можно задать производящей функцией п переменных. В этом смысле многообразие лагранжевых ростков в R2" имеет атлас, каждая из 2я карт которого — пространство ростков ф нкций п переменных (рассматриваемых с точностью до аддитивных постоянных).
Иногда удобнее задавать лагранжев росток при помощи ростка функции большего числа переменных — так называемого производящего семейства. Естественно, одному лагранжеву ростку отвечает много производящих семейств. Однако класс семейств, задающих эквивалентные лагранжевы ростки, удается явно описать. В результате классификация лагранжевых особенностей сводится к задаче теории семейств функций.
19.1. Оптическая длина пути как производящее семейство. Производящие семейства естественно возникают в геометрической оптике. Рассмотрим, например, в евклидовом пространстве два подмногообразия произвольных (не обязательно совпадающих) размерностей: источник света и поверхность наблюдения. Семейство фронтов (эквидистант), распространяющихся от источника, задает и на поверхности наблюдения семейство фронтов. Вообще говоря, через каждую точку поверхности наблюдения проходит несколько фронтов, соответственно различным лучам, перпендикулярным к источнику и ведущим в данную точку наблюдения, так что семейство фронтов на поверхности наблюдения «многозначно». Однако этому семейству соответствует вполне определенное лагранжево подмногообразие в кокасательном расслоении Производящие семейства
