Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Контактная форма на E обращается в 0 при dx( и dz, равных нулю, а в нуле пропорциональна dz. Поэтому можно выбрать ее в виде a=dz—Hy?xv где функции у( от (х, р, z) равны 0 в нуле.
В этих обозначениях доказываемая невырожденность означает отличие от нуля якобиана det (ду/др) в нуле. Если бы этот определитель был равен 0, то существовал бы ненулевой вектор касательный к слою в нуле (так что dx (?)=0, dz(?)=0), такой, что dy (|)=0. Но тогда для любого вектора da(?,T|) = =—S (dijt Д dx^ (S, ч))=0, вопреки невырожденности формы da на К. Итак, наше отображение — локальный диффеоморфизм.
Одновременно мы доказали, что функции у. вместе с х и z образуют на E локальную координатную систему. В этой системе координат a=dz—у dx, тс (х, у, z)=(x, z), что и доказывает локальную контактную эквивалентность нашего расслоения стандартному.
20.4. Лежандровы эквивалентности. Лежандровой эквивалентностью двух лежандровых расслоений называется диффеоморфизм пространств расслоения, переводящий слои первого расслоения в слои второго. лежандровы особенности
253
Пример. Рассмотрим проективное кокасательное расслоение РТ*В -> В. Каждый диффеоморфизм базы действует на контактные элементы на ней. Возникающее отображение пространства расслоения PT*В в себя является лежандровой эквивалентностью (каждый слой она отображает проективно).
Теорема. Всякая лежандрова эквивалентность ростка проективного кокасательного расслоения в себя индуцирована локальним диффеоморфизмом базы.
Доказательство. Лежандрова эквивалентность индуцирует диффеоморфизм базы. Если этот диффеоморфизм тождественный, то каждая контактная плоскость остается на месте (ибо остается на месте контактный элемент, в который она проектируется, а контактные элементы разных контактных плоскостей разные). Следовательно, лежандрова эквивалентность однозначно определяется индуцированным диффеоморфизмом базы.
Замечание. Структура любого лежандрова расслоения определяет на слоях структуру локально-проективного пространства; всякая лежандрова эквивалентность задает проективные преобразования слоев и индуцирована диффеоморфизмом базы (ср. две последние теоремы).
20.5. Лежандровы отображения. Рассмотрим вложение в пространство лежандрова расслоения тс: E -> В еще одного лежандрова подмногообразия (i: L —> Е). Сужение^ проектирования тс на L, т. е. тс о i: L—>¦ В, называется лежандровым отображением.
Лежандровы отображения — это отображения в многообразие на 1 большего числа измерений, чем прообраз. Они образуют специальный класс отображений /г-мерных многообразий в ге+1-мерные: особенности общего положения в классе всех отображений и в классе лежандровых отображений различны.
Пример 1. Рассмотрим стандартное расслоение тс: R2n+1 — R"+1, тс (х, у, z) = (х, z), с контактной структурой а. = dz—у dx. Определим лежандрово многообразие с производящей функцией S формулой (ср. п. 20.2, I пусто)
X = dS/dy, z = <і, уУ — S (у).
Проекция тс этого лежандрова многообразия на пространство RB+1 задает лежандрово отображение. Образ этого отображения является гиперповерхностью в RK+1 (вообще говоря, особой).
В случае, когда функция S выпукла, образ гладкий и является графиком функции z=T (х). Эта функция T называется преобразованием Лежандра исходной функции S.
Пример 2. Тангенциальное отображение, сопоставляющее каждой точке гиперповерхности в R" касательную гиперплоскость в этой точке, лежандрово (соответствующее лежандрово расслоение описано в примере 4 п. 20.3). Лежандрово также аналогичное отображение ориентированной гиперповерхности в многообра- 254
особенности каустик и волновых ФРОНТОВ [гя. ііі
зие ориентированных гиперплоскостей bJR". При факторизации, указанной в доказательстве теоремы Дарбу (см. замечание в п. 20.1), это лежандрово отображение переходит в лагранжево, а именно в гауссово отображение исходной гиперповерхности (почему?).
Эквивалентность лежандровых отображений определяется как лежандрова эквивалентность соответствующих лежандровых расслоений, переводящая первое лежандрово подмногообразие во второе.
Можно доказать, что всякое лежандрово отображение локально эквивалентно отображению примера 1. В зтом смысле все лежандровы особенности сводятся к особенностям преобразований JIe-жандра (причем совпадают также явления общего положения и т. д.)
20.6. Фронты. Образ лежандрова отображения называется фронтом (отображаемого лежандрова многообразия).
Пример. Рассмотрим гладкое подмногообразие (любой положительной коразмерности) в евклидовом пространстве. Отложим по каждой нормали отрезок длины t. Свободные концы построенных отрезков образуют фронт (как мы вскоре докажем).
Более общим образом, рассмотрим вместо евклидовой длины любой «геометрический функционал» вариационного исчисления, т.е. любую функцию H на пространстве кокасательного расслоения гладкого многообразия В, однородную первой степени однородности по импульсам:
ff: (ГВ\В)-+Ъ, # (X?) = Xtf(?) VX >0.
Мы предположим, что H не обращается в нуль вне нулевого сечения.
