Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 107

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 129 >> Следующая


Рассмотрим множество E ненулевого уровня функции H (заданное уравнением H=h, h^= 0). Многообразие E трансверсально слоям расслоения те: Т*В\В -*¦ РТ*В. Контактная структура многообразия контактных элементов PT*В переносится локальным диффеоморфизмом тс I E на многообразие Е.

Теорема. Фазовый поток уравнений Гамильтона на E сохраняет контактную структуру.

Следствие. Фазовый поток уравнений Гамильтона на E переводит лежандровы подмногообразия в лежандровы.

Пример. Пусть В — риманово пространство, H= | р |, h=1. В этом случае E — сферическое кокасательное расслоение, т. е. многообразие трансверсально ориентированных контактных элементов на В. Фазовый поток за время f сдвигает каждый контактный элемент на расстояние t вперед по геодезической, перпендикулярной элементу, сохраняя перпендикулярность. Для любого подмногообразия в В касающиеся нодмногообравжя трансверсально ориентированные контактные элементы образуют лежан- § 20]

лежандроБы особенности

255

дрово подмногообразие. По следствию их сдвиги через время t также образуют лежандрово подмногообразие.

Проекция этого лежандрова многообразия на 5^есть эквиди-станта исходного многообразия (множество свободных концов отрезков геодезических нормалей длины t к исходному многообразию). Следовательно, эквидистанта является фронтом лежандрова многообразия. j

Замечание. Можно показать, что все лежандровы особенности реализуются уже в случае эквидистант гиперповерхностей в евклидовом пространстве. В этом смысле исследование лежандровых особенностей совпадает с исследованием эквидистант (можно показать, что близким лежандровым особенностям соответствуют эквидистанты близких гиперповерхностей и " обратно, так что особенности общего положения для фронтов лежандровых многообразий те же, что для эквидистант). *

Доказательство теоремы. 1°. Индуцированная с PT* В контактная структура на E задается сужением на E канонической 1-формы р dq на Т*В. Покажем, что косоортогональ-ное дополнение к нулям этой форма есть касательное пространство к слою расслоения тс (в точках пространства Т*В, не принадлежащих нулевому сечению кокасательного расслоения).

Действительно, форма p"dq обращается в нуль вдоль любой кривой, «-проекция которой интегральна для контактной структуры. Поэтому интеграл формы симплектической структуры dp Д dq вдоль любой площадки, проектирующейся в интегральную кривую, равен нулю. Следовательно, гиперплоскость нулей формы р dq и касательная к слою я косоортогональны и, значит, являются косоортогональными дополнениями друг друга.

2°. Фазовый поток функции Гамильтона H на Т*В\В коммутирует с умножением всех кокасателъных векторов на положительную постоянную.

Действительно, нри таком растяжении вектора симплектиче-ская структура dp /\ dq и функция Гамильтона растягиваются в одинаковое число раз, следовательно, векторное поле^Гамиль-тона не меняется.

3°. Согласно 1° контактная структура на E определена в терминах симплектической структуры на Т*В\В и поля касательных к слоям расслоения тт. Фазовый поток с функцией Гамильтона H сохраняет подмногообразие Е, симплектическую структуру и (согласно 2°) поле касательных к слоям тт. Следовательно, он сохраняет и поле косоортогональных дополнений, т. е. контактную структуру на Е.

Теорема доказана.

Замечание. Фронт лежандрова многообразия имеет, вообще говоря, коразмерность один в объемлющем пространстве (ростки, для которых эта коразмерность больше, образуют мно- 256

особенности каустик и волновых фронтов [гл. ІІі

жество коразмерности бесконечность в пространстве всех лежан-дровых ростков).

Лежандрово подмногообразие в РТ*В, имеющее фронтом гладкую гиперповерхность в В, однозначно восстанавливается по зтой гиперповерхности: это множество ее касательных плоскостей;

В этом смысле действие лежандровой эквивалентности на ле-жандрову особенность сводится к действию соответствующего диффеоморфизма базы на фронт. Это замечание применимо не только к отображениям'с гладкими фронтами,"но и к таким, у которых множество точек регулярности плотно в исходном лежандро-вом многообразии (последнее условие нарушается лишь для лежандровых ростков, образующих множество коразмерности бесконечность в пространстве всех лежандровых ростков).

20.7. Производящие семейства. В то время как лагранжевы многообразия связаны с функциями, а лагранжевы особенности — с особенностями семейств функций, лежандровы многообразия связаны с гиперповерхностями, а лежандровы особенности — с особенностями семейств гиперповерхностей.

Рассмотрим росток лежандрова подмногообразия пространства проективного кокасательного расслоения, J трансверсального слоям. Такое многообразие имеет неособый фронт. Этот фронт называется производящей гиперповерхностью исходного ростка.

Лежандровы эквивалентности действуют на производящую гиперповерхность как диффеоморфизмы базы.

Лежандровы производящие семейства гиперповерхностей строятся из производящих гиперповерхностей так же, как лагранжевы производящие семейства4— из"® производящих функций.
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed