Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
18.3. Лагранжевы подмногообразия. Подмногообразие сим-плектического пространства называется изотропным, если форма, задающая симплектическую структуру, индуцирует на этом подмногообразии нулевую форму.
Пример 1. Плоскость jP=Const в стандартном симплекти-ческом пространстве {{р, q)} изотропна.
Пример 2. Любая кривая в симплектической двумерной плоскости R2 изотропна.
Размерность изотропного подмногообразия — не больше половины размерности объемлющего симплектического многообразия (так как симплектическая 2-форма невырождена).
Изотропные подмногообразия наибольшей возможной размерности (т. е. размерности, равной половине размерности объемлющего симплектического пространства) называются лагранжевыми.
Пример 3. Среди Cgt я-мерных координатных плоскостей стандартного 2/г-мерного симплектического пространства лагранжевыми являются 2" плоскостей, получаемых следующей конструкцией. Пусть I — подмножество множества (1, . . ., ге). Рассмотрим гсГосей координат р{, і ? I, и qp j I. Плоскость, натянутая на эти оси, лагранжева. Лагранжевы особенности
233
Иными словами, все лагранжевы координатные плоскости получаются из плоскости, натянутой на оси (рх, . . ., рп), поворотом «на 90°» в некоторых из двумерных плоскостей (pj, q}) (такой поворот (pj, Qj) ь-> (qj, — pj) сохраняет симплектическую структуру и, следовательно, переводит лагранжевы плоскости в лагранжевы).
Изотропные подмногообразия примеров 1 и 2 — лагранжевы.
Пример 4. Пусть V — любое подмногообразие в евклидовом пространстве R" и L — многообразие ориентированных нормалей к V. Тогда L — лагранжево подмногообразие в симплек-тическом многообразии всех ориентированных прямых в Rjt.
Доказательств о! Рассмотрим стандартную 1-форму a.=pdq в R2" =r*RM. Рассмотрим га-мерное подмногообразие, образованное кокасательными векторами, равными 0 на Zr (при евклидовом отождествлении кокасательных векторов с касательными это — многообразие всех векторов, нормальных к L). Сужение а на указанное подмногообразие равно нулю. Отсюда сразу следует изотропность и лагранжевость многообразия ориентированных нормалей.
Пример 5. Для любой функции S (q), q ? Rb, определим подмногообразие в стандартном симплектическом пространстве R2" формулой p=dS/dq. Это подмногообразие лагранжево.
Действительно, на этом многообразии pdq=dS, поэтому сужение dp /\ dq на это многообразие равно нулю.
Функция S называется производящей функцией лагранжева многообразия.
Всякое лагранжево подмногообразие стандартного симплекти-ческого пространства R2", являющееся графиком отображения P—f (?)' локально определяется производящей функцией. (Вследствие лагранжевости графика сужение на график формы р dq замкнуто и, значит, локально является дифференциалом функции.)
Пример 6. Росток лагранжева подмногообразия стандартного симплектического пространства является графиком отображения p—f (q), если и только если он трансверсален 'лагранжевой плоскости g= const. Не всякий лагранжев росток трансверсален этой плоскости. Однако всякий лагранжев росток в R2n трансверсален одной из 2" лагранжевых плоскостей координатного направления (см. [11]).
Если лагранжев росток трансверсален плоскости, натянутой на оси Pi (і ? /), - qj (/ ? 7), то он является графиком ростка отображения ^q1, Pj) н-> ^p1, qjj. В этом случае росток записывается при помощи производящей функции S ^q1, Pj) формулами
Pj = SSjdqj, qj=—dSldpj 234
ОСОЁЕЙЙОСТЙ КАУСТИК Й ВОЛЙОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. 111
(эти формулы получаются из формул примера 5 при повороте «на 90°» в координатных плоскостях (pj, Qj), / G /). Мы будем называть координаты Qj и импульсы Pj с индексами из J (те, для которых в формуле есть минус) патологическими. Если размерность пересечения лагранжевой плоскости с j плоскостью д=const равна к, то производящую функцию можно выбрать с к патологическими аргументами.
Следствие. Все лагранжевы ростки в R2" локально сим-плектически эквивалентны.
Доказательство. Из утверждения примера 6 следует, что каждый лагранжев росток в подходящей симплектиче-ской системе координат записывается при помощи производящей функции: p=dS/dq. Диффеоморфизм (р, q) н-> (р — dS/dq, q) сохраняет симплектическую структуру и приводит росток к виду
18.4. Лагранжевы расслоения. Расслоение тс: E2n-^Bn называется лагранжевым, если пространство E снабжено симплектиче-ской структурой и слои — лагранжевы подмногообразия.
Пример 1. R2" R", (р, д) н-> q — стандартное лагранжево расслоение.
Пример 2. Кокасательное расслоение Т*В В любого многообразия В лагранжево. Действительно, вдоль слоев кока-сательного расслоения обращается в нуль стандартная 1-форма а =р dg, а значит, и ее дифференциал ш=<2а.
Теорема. Все лагранжевы расслоения фиксированной размерности локально симплектически диффеоморфны (локально = в окрестности каждой точки пространства расслоения).
Доказательство, Выберем п_ ростков функций Qn- • ч ^n на базе расслоения л с независимыми в центре ростка дифференциалами. Ростки их прообразов (<7i=7t*(?i, . . ?я=тс*^я) в рассматриваемой точке пространства расслоения также имеют независимые дифференциалы.
