Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 102

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 129 >> Следующая


Пусть F1 я F2 — два производящих семейства, определенные на пространстве вспомогательного расслоения р: RA+< R'. Семейства F1 и F2 называются R-эквивалентными, если одно из них переходит в другое при подходящем расслоенном диффеоморфизме 0, т. е.

F1 (ж, X) = Fa (A (ж, X), 7 (X)), (**)

где Q (X1 X) = (A(ar, X), ср (X)).

Семейства называются R ^-эквивалентными, если одно из них переходит в другое после подходящего расслоенного диффеоморфизма В и прибавления подходящей гладкой функции от параметров:

F1 (х, l) = F2(h(x,l), <р(Х)) + Ф (X).

Аналогичные определения даются для ростков.

Два ростка семейств F1, F2 с общими параметрами X, но, вообще говоря, разными размерностями пространства аргументов х1 и X2 называются стабильно R+ -эквивалентными, если они становятся R+-эквивалентными после добавления к аргументам х1 новых аргументов Zi и к функциям Fi невырожденных квадратичных форм Qi от новых аргументов: F1 -j- Q1 —- F2 -f- Q2.

в+

16* 244

ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі

Теорема. Два ростка лагранжевых отображений лагранжево эквивалентны, если и только если ростки их производящих семейств В.*-стабилъно эквивалентны.

Прежде чем доказывать эту теорему, мы рассмотрим один специальный класс лагранжевых эквивалентностей кокасательного расслоения над большим пространством вспомогательного расслоения.

Согласно п. 18.5 каждая лагранжева эквивалентность разлагается в произведение послойно линейной эквивалентности, индуцированной диффеоморфизмом большого пространства, и послойного сдвига, заданного функцией на большом пространстве.

Определение. Лагранжева эквивалентность кокасательного расслоения большого пространства называется расслоенной, если соответствующий диффеоморфизм большого пространства расслоен (переводит слои вспомогательного расслоения в слои), а соответствующая функция на большом пространстве постоянна вдоль слоев.

Предложение. Лагранжева эквивалентность кокасательного расслоения большого пространства расслоена, если и только если она переводит в себя смешанное пространство А.

Доказательство. 1. Расслоенный диффеоморфизм большого пространства индуцирует сохраняющую смешанное пространство лагранжеву эквивалентность, так как смешанное пространство определено вспомогательным расслоением.

2. Сдвиг, определяемый постоянной вдоль слоев функцией S (X), имеет вид (х, у, X, х) (х, у, X, x-\-dSld~k) и переводит многообразие А, заданное уравнением г/=0, в себя.

Из 1 и 2 следует, что расслоенная эквивалентность переводит А в себя.

3. Пусть лагранжева эквивалентность переводит А в себя. Рассмотрим косоортогональное дополнение апп а к касательному пространству а к А. Лагранжева эквивалентность, переводящая А в себя, сохраняет поле плоскостей апп а на многообразии А и аффинную структуру слоев кокасательного расслоения. Но апп а есть касательное пространство к слою расслоения А 7,*R'. Следовательно, переводящая А в себя лагранжева эквивалентность переводит в себя поле плоскостей, параллельных х-простран-ству. Значит, соответствующий диффеоморфизм большого пространства расслоен. Поскольку многообразие А, где у=0, переходит в себя, функция, определяющая сдвиг, от X не зависит. Итак, лагранжева эквивалентность, переводящая А в себя, расслоена. Предложение доказано.

Следствие. Расслоенная лагранжева эквивалентность индуцирует лагранжеву эквивалентность кокасательного расслоения базы вспомогательного расслоения. § 19]

ПРОИЗВОДЯЩИЕ СЕМЕЙСТВА

245

19.5. Доказательство теоремы об эквивалентности. А) Пусть дана R +-эквивалентность производящего семейства F1 с семейством F2. Докажем, что F2 также является производящим семейством и что определенные семействами F1 и F2 ростки лагранжевых отображений лагранжево эквивалентны.

а) По R +-эквивалентности строим расслоенную лагранжеву эквивалентность: если F1 (х, X)=F2 (h (х, X), ср (Х))+Ф (X), то расслоенный диффеоморфизм 0=(А, ср) большого пространства и сдвиг, заданный функцией Ф, определяют расслоенную лагранжеву эквивалентность.

б) Эта расслоенная лагранжева эквивалентность переводит росток лагранжева сечения M1 большего кокасательного расслоения, заданный производящей функцией F1, в росток лагранжева сечения M2 с производящей функцией F2 (см. формулы п. 18.5). Отсюда следует, что M2 трансверсально А. Значит, семейство F2 производящее.

в) Лагранжева эквивалентность кокасательного расслоения-базы вспомогательного расслоения, индуцированная построенной расслоенной эквивалентностью, переводит лагранжев росток с производящим семейством F1 в росток с производящим семейством F2. Утверждение А) доказано.

Б) Пусть дана лагранжева эквивалентность кокасательного расслоения базы вспомогательного расслоения, переводящая росток лагранжева многообразия L1, заданного производящим семейством F1, в росток лагранжева многообразия L2.

Тогда L2 можно задать производящим семейством F2, R+-эквивалентным семейству F1.

Действительно, рассмотрим прямое произведение данной расслоенной эквивалентности пространства кокасательного расслоения базы с координатами (X, х) и тождественного преобразования (х, у) і-» (х, у). Это — расслоенная лагранжева эквивалентность кокасательного расслоения большого пространства. Она переводит росток лагранжева сечения M1, заданный производящей функцией F1, в росток лагранжева сечения M2. M2 задается производящей функцией F2. Производящее семейство F2 — искомое.
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed