Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
JJ gx{x,y)dfi= JJ gi(x,y)dfi
D Dxu(D\Di)
= JJ 9\{x,y)dn+ JJ gi{x,y)dn = Q+ JJ g2{x,y)dn=
D1 D\DX D\D\
~ SJ ff2^r'+ JJ 32(x,y)dn = JJ g2{xfy)dfi.
D1 DXD1 D
Свойство 7° доказано.
§ 8. ПЕРЕХОД ОТ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
Сформулируем теорему о равенстве двойного и повторного интегралов.
Теоремаї. Пусть функция д(х, у) интегрируема на прямоугольнике P = /1 X I2l Ii = [ai, 6j], I2 = [а2,Ь2]. Пусть также для любого фиксированного значения х Є Ii функция f(y) = }х (у) = д(х,у} от одной переменной у является интегрируемой по у на отрезке I2 и
Ьз
h(x) = f f(y)dy. Тогда имеет место формула
«3
Ьі
A = JJ g(x,y)dxdy = J h(x)dx =
P O1
6i / fes \ bi b2
-JiJ fr(y)dy \ dx = J dx J g(x,y)dy,
ai V13 / H1
т.е. двойной интеграл равен повторному интегралу.
Доказательство. Для любого разбиения T = = Tp прямоугольника P имеем неравенства mkj < g{x,y) < Mk,і, где (х, у) € PkJ и величины mkj и MkJ1 k = I1... ,т, I = 1,..., п имеют обычный смысл.
При фиксированном х = ?к это неравенство можно проинтегрировать по у в пределах от уі^і до yi. Получим
Уі
THkJAyi < J g(tk,v)dy < MkjAyi.
Уі — 1
564 Просуммируем это неравенство по /. Будем иметь
п ЬГ "
J^mktlAyi < / g{?k,y)dy = < Y^MktiAyi.
'=1 L 1=1
Умножим последнее неравенство на Axk и просуммируем его по к. Получим
т п т
к = 1 /=1 a = i
<53 YtMkjt AxkAyi = SiT),
jt=i і=і
где Vix) — разметка разбиения T отрезка 1\.
Кроме того, имеем
s(T) < А < S(T).
Так как д(х, у) интегрируема на Р, то для любого числа є > О найдется число S = > 0 такое, что для всякого разбиения T с условием At < 8 имеем S(T) — s(T) < є.
Разбиение T = (Т(х),Т(у)) образовано парой разбиений — одно Т(х) по оси Oxt другое Т(у) по оси Oy. В качестве разбиения Т(х) МОЖНО ВЗЯТЬ любое разбиение С условием Ат(х) < Возьмем любую разметку разбиения Т(х). Получим размеченное разбиение V = V(x) отрезка I\.
Далее, в силу того, что оба числа А и o-(V) лежат на одном отрезке длины є, имеем \<r(V) — А\ < є. Заметим, что это неравенство справедливо для любого размеченного разбиения с условием Av < Следовательно, имеет место равенство
Ol
A= lim <r(V)= f h(x)dx. Av-^O J
fli
Теорема 1 доказана.
Заметим, что случай интегрирования по любому измеримому множеству D мало чем отличается от рассмотренного. Пусть прямоугольник P содержит D. Тогда по определению имеем
A = j J g(x,y)dxdy = J Jgo(x,y)dxdy,
565 где до совпадает с функцией д на множестве D и до = 0 вне D.
Обозначим через Е(х) множество точек у, для которых (х, у) Є D. Пусть Е(х) состоит из конечного числа отрезков'
[<pi(x)> W*)], • • • > [iPtix)у Mx)]-ь2
Тогда если h(x) = f gody, то, как мы видели,
а2
ь%
А at
где
Ol
= J h(x)dxу
t M*)
h(x) - Jgo(*,y)dy = E J g(x,y)dy. «2 r~Vr(*)
Следовательно, имеет место формула
t bi Vp(«)
A = Y1 j dx J 9(*,y)dy-
r—1ai tfir(x)
Эта формула обобщает утверждение теоремы 1.
§ 9. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ИЗМЕРИМОМ МНОЖЕСТВЕ
Имеют место следующие утверждения.
Теоремаї. Пусть функция д(х,у) непрерывна на прямоугольнике P. Тогда д(х, у) интегрируема на нем.
Доказательство. Прямоугольник P — компакт. Поэтому функция д(х> у) равномерно непрерывна на нем. Другими словами, для любого ?і > 0 найдется число Ji = Ji(ei) > 0 такое, что для любого разбиения T с условием Дт < имеем u>k,i = Mk,і — тк,і < Следовательно,
то n m n
ад < < ЕЕ^Р*.<)=W(P)-
к=і г=1 j=i
Возьмем любое є > 0 и положим Є\ = є/р(Р). Тогда для любого
разбиения T с условием Дт < 6і(є/р(Р)) получим, что П(Т) < є. Это
означает, что Iim Q(T) = 0, т.е. функция д(х,у) интегрируема на Р. Дт—> 0
566 Теорема 2. Пусть д (х ,у) ограничена и непрерывна на измеримом множестве D. Тогда д(х,у) интегрируема на D.
Докажем более общую теорему, из которой следует теорема 2.
ТсорсмаЗ. Пусть д(х,у) ограничена на замкнутом измеримом множестве D и непрерывна во всех точках множества D, за исключением множества Di, причем n(D\) = 0. Тогда функция д(х, у) интегрируема на D.
Доказательство. Зафиксируем произвольное число є і > 0. Так как множество D измеримо, то существует замкнутая простая фигура FcD такая, что p,(D\F) < Єї. Кроме того, существует открытая простая фигура F\ такая, что D\ С Fi и fi(Fi) < Тогда простая фигура F2 = F \ Fi замкнута и p,(D \ F2) < 2єі.
Функция д{х,у) непрерывна в каждой точке фигуры F2, поэтому из теоремы 1 следует ее интегрируемость на F2. Следовательно, существует разбиение T = Tf2 такое, что Q(T) < є і.
Дополним это разбиение T до разбиения г множества D, добавив к нему фигуру Do = D \ F2. Тогда в сумму П(г) добавится слагаемое, равное (M0 - mo)fi(Do), где m0 = inffl(x,t/), M0 = supд(х,у).
D0 D0
Следовательно, имеем
^(г) < Ci + (M0 - m0)2ei = ві(2М0 - 2т0 + 1) = ?, т.е. inf Q(t) 0.
T
Это и означает, что функция д(х,у) интегрируема на D.
Теорема 3 доказана. Лекция 12
§ 10. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ранее мы определили двукратный интеграл как предел по базе Ay —> 0 (или A? —» 0 на множестве D), где V и ? размеченные разбиения соответственно прямоугольника P и множества D.
